Question

[Nguyễn Thảo Linh]

Cho biểu thức : M=7+7²+7³+...+7⁶⁰

^{a) Chứng tỏ rằng : ⋮7;M⋮8;M⋮50" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:15.255px; font-style:normal; font-weight:normal; letter-spacing:normal; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; text-indent:0px; text-transform:none; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">M⋮7;M⋮8;M⋮50$M⋮7;M⋮8;M⋮50$}

^{b) Rút gọn M}

Answer 1

[admin (a@olm.vn)]

a) M chia hết cho 7 là rõ ràng vì các số hạng của M đều là lũy thừa của 7

  \(M=\left(7+7^2\right)+\left(7^3+7^4\right)+...+\left(7^{59}+7^{60}\right)\)

        \(=7\left(1+7\right)+7^3\left(1+7\right)+...+7^{59}\left(1+7\right)\)

       \(=7.8+7^3.8+...+7^{59}.8\)

      \(=\left(7+7^3+...+7^{59}\right).8\) 

=> M cũng chia hết cho 9

Làm tương tự, để chứng minh M chia hết cho 50 thì ta nhóm số thứ nhất với số thứ ba,, số thứ hai với số thứ tư, số thứ ba với số thứ năm, v.v.

\(M=\left(7+7^3\right)+\left(7^2+7^4\right)+...+\left(7^{57}+7^{59}\right)+\left(7^{58}+7^{60}\right)\)

     \(=7\left(1+7^2\right)+7^2\left(1+7^2\right)+...+7^{57}\left(1+7^2\right)+7^{58}\left(1+7^2\right)\)

    \(=7.50+7^2.50+...+7^{57}.50+7^{58}.50\)

   \(=\left(7+7^2+...+7^{57}+7^{58}\right).50\)

=> M cũng chia hết cho 50

b) Rút gọn M.

    \(M=7+7^2+...+7^{59}+7^{60}\)    (1)

=> Chia cả hai vế cho 7 ta có:

   \(\frac{M}{7}=1+7+7^2+...+7^{59}\)    (2)

Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế và bỏ đi các thành phần triệt tiêu ta có:

   \(M-\frac{M}{7}=7^{60}-1\)

\(\Rightarrow\frac{6}{7}M=7^{60}-1\)

  \(\Rightarrow M=\frac{\left(7^{60}-1\right).7}{6}\)