Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{bc+1}+\frac{1}{ca+1}\geq \frac{9}{ab+1+bc+1+ca+1}=\frac{9}{ab+bc+ac+3}(1)\)
Theo BĐT AM-GM:
\(ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq 3(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1}{ab+1}+\frac{1}{bc+1}+\frac{1}{ca+1}\geq \frac{9}{ab+bc+ac+3}\geq \frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Câu 1: a)
b) Áp dụng Bđt Holder ta có:
\(\Rightarrow9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\)(đpcm)
Dấu = khi a=b=c
Câu 2:
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)ta có:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+1+1}=\frac{4}{3}\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Câu 3:
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\left(a+b+c=1\right)\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Câu 4: nghĩ sau
\(2x^2+2y^2=5xy\Leftrightarrow2x^2+2y^2-5xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(x-2y\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{y}{2}\\x=2y\end{cases}}\)
Mặt khác : x > y > 0 \(\Rightarrow x=2y\)
Ta có : \(E=\frac{x+y}{x-y}=\frac{2y+y}{2y-y}=\frac{3y}{y}=3\)
a) Dễ tự làm đi
b) Xét 1 + a2 = ab + bc + ca + a2
= b(c + a) + a(c + a)
= (c + a)(b + a)
Cmtt ta có : 1 + b2 = (c + b)(a + b)
1 + c2 = (b+c)( a + c)
Do đó : A = \(\frac{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}\)\(=\frac{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)\left(b+a\right)\left(c+a\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)= 1
Xét a2 + 2bc - 1 = a2 + 2bc - ab - bc - ca
= a2 - ab + bc - ca
= a(a-b) - c(a-b)
= (a-b)(a-c)
Cmtt ta cũng có : b2 + 2ac - 1 = (b-c)(b-a)
c2 + 2ab - 1 = (c-a)(c-b)
Do đó : \(B=\frac{\left(a^2+2bc-1\right)\left(b^2+2ac-1\right)\left(c^2+2ba-1\right)}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}\)
= -1
đặt \(\sqrt{\frac{ab}{c}}=x;\sqrt{\frac{bc}{a}}=y;\sqrt{\frac{ca}{b}}=z\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
\(P=\frac{ab}{ab+c}+\frac{bc}{bc+a}+\frac{ca}{ca+b}\)
\(=\frac{\frac{ab}{c}}{\frac{ab}{c}+1}+\frac{\frac{bc}{a}}{\frac{bc}{a}+1}+\frac{\frac{ca}{b}}{\frac{ca}{b}+1}=\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}+\frac{z^2}{z^2+1}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{3}{4}\left(Q.E.D\right)\)
Nguyễn Bùi Đại Hiệp xem lại đề nhé bạn, dạng đề như này thì dữ kiện đầu phải là \(a+b+c=5\) nhé.
Sửa đề : cho a,b,c là các số thực thỏa \(a+b+c=5\) và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)
Bài làm :
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}=9\)
\(\Leftrightarrow5+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)=9\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=2\)
Khi đó : \(a+2=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
\(=\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)+\sqrt{c}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
Tương tự : \(\left\{{}\begin{matrix}b+2=\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\\c+2=\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\end{matrix}\right.\)
Ta có biến đổi của vế trái :
\(VT=\Sigma\frac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}\)
\(VT=\Sigma\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)}\)
\(VT=\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}{\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\cdot\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\cdot\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)^2}}\)
\(VT=\frac{2\cdot2}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
\(VT=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}=VP\) ( đpcm )
p/s: làm hơi tắt một chút, mong bạn thông cảm.
\(bdt\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc-\frac{\left(a+b\right)^2}{26}-\frac{\left(b-c\right)^2}{6}-\frac{\left(c-a\right)^2}{2009}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]-\frac{\left(a+b\right)^2}{26}-\frac{\left(b-c\right)^2}{6}-\frac{\left(c-a\right)^2}{2009}\ge0\)
Đặt \(a-b=x;b-c=y;c-a=z\) nên
\(bdt\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{x^2}{26}-\frac{y^2}{6}-\frac{z^2}{2009}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{26}\right)+\left(\frac{y^2}{2}-\frac{y^2}{6}\right)+\left(\frac{z^2}{2}-\frac{z^2}{2009}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{6x^2}{13}+\frac{y^2}{3}+\frac{2007z^2}{4018}\ge0\)(luôn đúng \(\forall x;y;z\))
Vậy BTĐ đã được chứng minh