Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi p là nửa chu vi tam giác đó \(\Rightarrow p=\frac{a+b+c}{2}\)
Ta có : \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}=\frac{2}{p-a}+\frac{2}{p-b}+\frac{2}{p-c}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)được :
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)
Tương tự : \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\) ; \(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)
Cộng các bất đẳng thức trên theo vế : \(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
a)Từ \(2\left(a^2+b^2\right)=5ab\)\(\Rightarrow2a^2+2b^2-5ab=0\)
\(\Rightarrow2a^2-4ab-ab+2b^2=0\)
\(\Rightarrow2a\left(a-2b\right)-b\left(a-2b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(2a-b\right)\left(a-2b\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2a-b=0\\a-2b=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2a=b\\a=2b\end{cases}}\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=\frac{b}{2}\\a=2b\end{cases}}\)
Thay vào tính được P
b)sai đề
a) Biến đổi biểu thức ban đầu tương đương:
4abc > a[ a² - (b-c)²] +b[b² - (a-c)²] +c[c² - (a-b)²]
<=> 4abc > a(a+b-c)(a+c-b) + b(b+c-a)(b+a-c) + c(c+b-a)(c+a-b)
Đến đây thì đặt ẩn phụ kiểu quen thuộc rồi ;)
Đặt a+b-c = x ; b+c-a =y ; c+a-b =z (x,y,z > 0 ) Thì a= (x +z)/2 ; b= (x+y/2) ; c= (y+z)/2
Biểu thức trở thành:
(x+y)(y+z)(z+x) > (x+z)xz + (x+y)xy + (y+z)yz
Đơn giản rồi ; biểu thức này tương đương 2xyz > 0 (đúng với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác ;)
*Mở rộng thêm: Còn chứng minh được a^3 +b^3 +c^3 +3abc >= a²(b+c) +b²(a+c) +c²(b+a) > a^3 +b^3 +c^3 +2abc với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác ;)
Ta có: a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b+c-a}\\\frac{b}{a+c-b}\\\frac{c}{a+b-c}\end{cases}}>0\)
\(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)
\(A+\frac{3}{2}=\frac{a}{b+c-a}+\frac{1}{2}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{1}{2}+\frac{c}{b+a-c}+\frac{1}{2}\)
\(A+\frac{3}{2}=\frac{a+b+c}{2\left(b+c-a\right)}+\frac{a+b+c}{2\left(a+c-b\right)}+\frac{a+b+c}{2\left(b+a-c\right)}\)
\(A+\frac{3}{2}=\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+a-c}\right)\)
\(A+\frac{3}{2}\ge\frac{a+b+c}{2}.\frac{9}{b+c-a+a+c-b+b+a-c}\)
\(A+\frac{3}{2}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge3\)