Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\sqrt[3]{\left(a+b\right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\frac{\left(a+b\right)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)
Tương tự:
\(\sqrt[3]{b+c}\le\frac{\left(b+c\right)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)
\(\sqrt[3]{c+a}\le\frac{\left(c+a\right)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\le\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\frac{2\left(a+b+c\right)+4}{3}\)
\(=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\frac{6}{3}=\sqrt[3]{18}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=\frac{2}{3}\\b+c=\frac{2}{3}\\c+a=\frac{2}{3}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\))
Em làm sai tại đây nhé:
\(\sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\sqrt[3]{\left(a+b\right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\frac{1}{3}.\left(a+b+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\right)\)
\(S=\sqrt{a+b+c}+\sqrt{b+c+d}+\sqrt{c+d+a}+\sqrt{d+a+b}\)
\(\le\frac{a+b+c}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{b+c+d}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{c+d+a}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{d+a+b}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{4}\)
\(=\sqrt{3}+\frac{3}{\sqrt{3}}\left(a+b+c+d\right)=2\sqrt{3}\)
Câu 1 : áp dụng BĐT SVAC ta có \(A\ge\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}}=\frac{1.\sqrt{2a+2b+2c}}{\sqrt{2.}(\sqrt{b+c}+\sqrt{a+b}+\sqrt{a+c})}\)
mặt khác lại có \(\frac{\sqrt{2a+2b+2c}}{\sqrt{2}.(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})}\ge\frac{\sqrt{(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})^2}}{\sqrt{2}.\sqrt{3}.(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})}=\frac{1}{\sqrt{6}}\)theo bđt svac
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{\sqrt{6}}\)dấu bằng xảy ra tại a=b=c=\(\frac{1}{3}\)
Với 2 số thực x,y>0, ta có:
\(x^3+y^3-x^2y-xy^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\). Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\).
Do đó: \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow x+y\le\sqrt[3]{4x^3+4y^3}\)Áp dụng bđt vừa cm, ta có: \(S=\sqrt[3]{2a+b}+\sqrt[3]{2b+c}+\sqrt[3]{2c+d}+\sqrt[3]{2d+a}\le\sqrt[3]{8a+12b+4c}+\sqrt[3]{8c+12d+4a}\le\sqrt[3]{48a+48b+48c+48d}=\sqrt[3]{48}\)(vì a+b+c+d=1)
Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\dfrac{1}{4}\)(vì a+b+c+d=1)
Bn ơi 3x3 + 3y3 vào cả 2 vế thì 4x3 + 4y3 > 3x3 + 3y3 + x2y + xy2 k phải là (x + y)3
Áp dụng bđt Bunhiacopxki :
\(A^2=\left(1.\sqrt{2a+b+1}+1.\sqrt{2b+c+1}+1.\sqrt{2c+a+1}\right)^2\)
\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2a+b+1+2b+c+1+2c+a+1\right)\)
\(\Rightarrow A^2\le3.3\left(a+b+c+1\right)\)
\(\Rightarrow A^2\le36\Rightarrow A\le6\) (Vì A > 0)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{2a+b+1}=\sqrt{2b+c+1}=\sqrt{2c+a+1}\\a+b+c=3\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy A đạt giá trị lớn nhất bằng 6 tại a = b = c = 1
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :
\(P^2=\left(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+a}\right)\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow P^2\le6\left(a+b+c\right)\Leftrightarrow P^2\le18\Leftrightarrow P\le\sqrt{18}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a+b+c=3\\\sqrt{a+b}=\sqrt{b+c}=\sqrt{c+a}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy ................................................