Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engle, ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{9}{a+b+c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
\(\frac{1}{3}\left(a^3+b^3+a+b\right)+ab\le a^2+b^2+1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+b^2+1-ab\right)+ab\le a^2+b^2+1\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)-ab\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1-ab\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)
Vì a, b dương \(\Rightarrow a^2+b^2+1-ab>0\Rightarrow\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\Leftrightarrow a+b\le3\)
\(M=\frac{a^2+8}{a}+\frac{b^2+2}{b}=a+\frac{8}{a}+b+\frac{2}{b}=2a+2b+\frac{8}{a}+\frac{2}{b}-\left(a+b\right)\ge8+4-3=9\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho a ; b dương
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2;b=1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\)
\(=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\). Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\ge3+\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)
\(\ge3+\left(a+b+c\right)-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3\)
Dấu "=" <=> \(a=b=c=1\)
\(Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\) \(=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\). Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế: \(VT\ge3+\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\) \(\ge3+\left(a+b+c\right)-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3\) Dấu "=" <=> \(a=b=c=1\)\)
Mình dùng ''AM-GM ngược dấu'' như sau
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự với các phân thức khác rồi cộng vế theo vế ta được:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\left(\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ca}{2}\right)=3-\left(\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ca}{2}\right)\)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức AM-GM \(9=\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{3}{2}\)
Vậy \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\)
\(=\left(1+\frac{a+b}{a}\right)\left(1+\frac{a+b}{b}\right)\)
\(=\left(1+1+\frac{b}{a}\right)\left(1+1+\frac{a}{b}\right)\)
\(=\left(2+\frac{b}{a}\right)\left(2+\frac{a}{b}\right)\)
\(=4+2\frac{a}{b}+2\frac{b}{a}+1\)
\(=5+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)\(\ge5+2.2=9\)
c/m: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) với a,b dương
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b\)
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\)
\(=\left(1+\frac{a+b}{a}\right)\left(1+\frac{a+b}{b}\right)\)
\(=\left(1+1+\frac{b}{a}\right)\left(1+1+\frac{a}{b}\right)\)
\(=\left(2+\frac{b}{a}\right)\left(2+\frac{a}{b}\right)\)
\(=4+2\frac{b}{a}+2\frac{a}{b}+1\)
\(=4+1+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
\(=5+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)(1)
.Ta cần chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Không mất tính tổng quát, giả sử a, b \(>0\)va \(a\ge b\). \(m\ge0\). Có thể viết \(a=b+m\)
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}\)
\(=1+\frac{m+b}{b+m}=1+1=2\)
Từ đây, ta suy ra được \(\left(1\right)\ge5+2.2=9^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu = xảy ra khi a = b (m = 0)
bạn có:
1/a^3(b+c) + 1/b^3(a+c) + 1/c^3(a+b) = (b^2.c^2)/(a^3.b^2.c^2.(b+c)) + (a^2.c^2)/(a^2.b^3.c^2(a+c)) + a^2.b^2/(a^2.b^2.c^3.(a+b)) (nhân cả tử với mẫu cho a , b , c tương ứng)
vì abc = 1 nên bạn sẽ có:
(b^2.c^2)/(a(b+c)) + a^2.c^2/(b(a+c)) + a^2.b^2/(c(a+b))
áp dụng bất đẳng thức Cauchy-schwarz( bất đẳng thức này bạn dễ dàng chứng minh được dựa vào bunhiacopsky, bạn cũng có thể lên mạng tìm hiểu :D)
(b^2.c^2)/(a(b+c)) + a^2.c^2/(b(a+c)) + a^2.b^2/(c(a+b)) >= (ac + ab + bc)^2/( a(b+c) + b(a+C) + c(a+b))
vế phải = (ac + ab + bc)^2/(2(ab + ac + bc) = (ac + ab + bc)/2 >= (3 căn bậc ba( a^2.b^2.c^2))/2 (bđt cauchy) >= 3.1/2 = 3/2 (vì abc = 1) => đpcm
Cho 4 số dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a+c=2b và c(b+d)=2bd. CM :
Bài 1:Cách thông thường nhất là sos hoặc cauchy-Schwarz nhưng thôi ko làm:v Thử cách này cho nó mới dù rằng ko chắc
Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c\le1\Rightarrow a+b=3-c\ge2\) và \(a\ge1\)
Ta có \(LHS=a^3.a+b^3.b+c^3.c\)
\(=\left(a^3-b^3\right)a+\left(b^3-c^3\right)\left(a+b\right)+c^3\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\left(a^3-b^3\right).1+\left(b^3-c^3\right).2+3c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3=RHS\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Ta có:
\(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\)
\(=\frac{a^2}{a+1}+\frac{a+1}{9}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{b+1}{9}-\frac{1}{3}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+1}.\frac{a+1}{9}}+2\sqrt{\frac{b^2}{b+1}.\frac{b+1}{9}}-\frac{1}{3}\)
\(=\frac{2}{3}a+\frac{2}{3}b-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
Dấu = xảy ra <=> a = b = 1/2
Áp dụng Cauchy Schwarz:
\(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b+2}=\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=1/2