Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
áp dụng bđt bunhia cốp xki ta có cặp số \(\left(a,2b,c\right)\left(1,\sqrt{2},1\right)\)
\(\left(a^2+2b^2+c^2\right)\left(1+\sqrt{2}+1\right)>=\left(a+b+c\right)^2\)
\(a^2+2b^2+c^2>=\frac{0^2}{2+\sqrt{2}}=0\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a^2}{1}=\frac{b^2}{\sqrt{2}}=\frac{c}{1}\)
vậy min P =0
sorry bạn mình ko tìm đc giá trị lớn nhất mà chỉ tìm đc giá trị nhỏ nhất thôi
1) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM :
\(P=\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{ab}{a^2+b^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{ab}\cdot\frac{ab}{a^2+b^2}}=2\sqrt{1}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2+b^2-ab=0\)
1) Anh phương làm lạ zậy?
Đặt \(x=\frac{a^2+b^2}{ab}\ge\frac{2ab}{ab}=2\) (do a.b > 0 nên ta không cần viết 2|ab| thay cho 2ab)
Khi đó bài toán trở thành: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x+\frac{1}{x}\) (với \(x\ge2\))
Ta có: \(P=\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\right)+\frac{3x}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{x}{4}}+\frac{3x}{4}\ge1+\frac{3.2}{4}=\frac{5}{2}\)
Vậy P min là 5/2 khi x = 2
\(\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow8-4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)-abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge4\left(a+b+c\right)-8+abc\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge12-8+abc\ge4\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge4\)
\(\Rightarrow-2\left(ab+bc+ca\right)\le-4\)
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=9\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=9-2\left(ab+bc+ca\right)\le9-4=5\)(Đpcm)
Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)=0\\abc=0\\a+b+c=3\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(2;1;0\right)\)và hoán vị.
a = 2 ( t/m )
b = 1 ( t/m )
c = 0 ( t/m )
vậy \(a^2+b^2+c^2\le5\)
\(Q=a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
\(\le b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
\(=4.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}.\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
\(\le\frac{4.\left(\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c-b\right)^3}{27}+c^2\left(1-c\right)\)
\(\le\frac{4.c^3}{27}+c^2\left(1-c\right)\)
\(=c^2\left(1-\frac{23c}{27}\right)\)
\(=\frac{23c}{54}.\frac{23c}{54}.\left(1-\frac{23c}{27}\right).\frac{2916}{529}\)
\(\le\frac{2916}{529}.\frac{\left(\frac{23c}{54}+\frac{23c}{54}+1-\frac{23c}{27}\right)^3}{27}=\frac{108}{529}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=0;b=\frac{12}{23};c=\frac{18}{23}\)
CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý A ≥ B ⇔ A − B ≥ 0 1/Định nghĩa A ≤ B ⇔ A − B ≤ 0 2/Tính chất + A>B ⇔ B < A + A>B và B >C ⇔ A > C + A>B ⇒ A+C >B + C + A>B và C > D ⇒ A+C > B + D + A>B và C > 0 ⇒ A.C > B.C + A>B và C < 0 ⇒ A.C < B.C + 0 < A < B và 0 < C <D ⇒ 0 < A.C < B.D + A > B > 0 ⇒ A n > B n ∀n + A > B ⇒ A n > B n với n lẻ + A > B ⇒ A n > B n với n chẵn + m > n > 0 và A > 1 ⇒ A m > A n + m > n > 0 và 0 <A < 1 ⇒ A m < A n 1 1 +A < B và A.B > 0 ⇒ > A B 3/Một số hằng bất đẳng thức + A 2 ≥ 0 với ∀ A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + An ≥ 0 với ∀ A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + A ≥ 0 với ∀A (dấu = xảy ra khi A = 0 ) + -A <A= A + A + B ≥ A + B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0) + A − B ≤ A − B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)Sưu tầm và tuyển chọn 1
bài này xài karamata là đẹp nhất nè nhanh gọn lẹ mà ko bt bn học chưa
Ahaha :D giỡn xíu lớp 8 có khi AM-HM còn chưa học :3, bài này với bn phải xài khai triển Abel 
\(Q=\frac{1}{c+1}+\frac{ab+abc-c-1}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}=\frac{1}{c+1}+\frac{ab-1}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}\)
\(=\frac{1}{c+1}+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-1=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-\frac{c}{c+1}\)
Dự đoán dấu "=" rơi khi \(a=b-1=c-2=1\) nên c/m
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-\frac{c}{c+1}\geq \frac{5}{12}\)
\(\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{a+1}-\frac{1}{2} \right )+\left ( \frac{b}{b+1}-\frac{2}{3} \right )+\left ( \frac{3}{4}-\frac{c}{c+1} \right )\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a-1}{2a+2}+\frac{b-2}{3b+3}+\frac{3-c}{4c+4}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \left ( 3-c \right )\left ( \frac{1}{4c+4}-\frac{1}{3b+3} \right )+\left ( 3-c+b-2 \right )\left ( \frac{1}{3b+3}-\frac{1}{2a+2} \right )+\left ( 3-c+b-2+a-1 \right )\frac{1}{2a+2}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{\left ( c-3 \right )\left ( 4c-3b+1 \right )}{12\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}+\frac{\left ( b+1-c \right )\left ( 2a-3b-1 \right )}{6\left ( b+1 \right )\left ( a+1 \right )}+\frac{a+b-c}{2a+2}\geq 0\)
Hơi xấu nhỉ nhưng xong rồi đó :)
Dạng này nhìn mệt vãi:(
Do b > 0 nên chia hai vế của giả thiết cho b, ta được: \(a+\frac{2}{b}\le1\)
Bây giờ đặt \(a=x;\frac{2}{b}=y\). Bài toán trở thành:
Cho x, y là các số dương thỏa mãn \(x+y\le1\). Tìm Min:
\(P=x+y+\frac{1}{x^2}+\frac{8}{y^2}\). Quen thuộc chưa:v
Ko biết có tính sai chỗ nào không, nhưng hướng làm là vậy đó!