Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tìm điểm rơi: ( a; b ; c ) = ( -3; 3; 0 ) hoặc ( 3; -3 ; 0 )
Xét: 2P + 3.18 \(\ge\) 2( 3ab + bc + ca ) + 3(a^2 + b^2 + c^2) = ( a+ b + c)^2 + 2(a+b)^2 + 2c^2\(\ge\)0 đúng
( nháp = k ( a+ b + c)^2 + m ( a + b)^2 + n c^2
k + m = 3
n +k = 3
2k + 2m = 6 <=> k = 1; m = 2; n = 2
2k = 2 )
Do đó: 2P \(\ge\)-3.18
=> P \(\ge\)-27
Dấu "=" xảy ra <=> a = - b ; c = 0 ; a^2 + b^2 + c^2 = 18 <=> a = 3; b = - 3; c = 0 hoặc a = -3; b = 3 và c = 0
Gọi \(S=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+ab+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ab+a^2}\)
Dễ thấy \(P-S=0\)
\(\Rightarrow2P=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+ab+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ab+a^2}\)
Ta chứng minh:
\(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a+b}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
\(\Rightarrow2P\ge\frac{a+b}{3}+\frac{b+c}{3}+\frac{c+a}{3}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=2\)
\(\Rightarrow P\ge1\)
\(a^2+ab+b^2=\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+ab+b^2}\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự và cộng lại:
\(P\ge\sqrt{3}\left(a+b+c\right)=\sqrt{3}\)
\(P_{min}=\sqrt{3}\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Ta có: \(\frac{1+3a}{1+b^2}=\left(1+3a\right).\frac{1}{1+b^2}=\left(1+3a\right)\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)
\(\ge\left(1+3a\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=\left(1+3a\right)\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(=3a+1-\frac{b}{2}-\frac{3ab}{2}\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{1+3b}{1+c^2}=3b+1-\frac{c}{2}-\frac{3bc}{2}\)(2); \(\frac{1+3c}{1+a^2}=3c+1-\frac{a}{2}-\frac{3ca}{2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{1+3a}{1+b^2}+\frac{1+3b}{1+c^2}+\frac{1+3c}{1+a^2}\)\(\ge3\left(a+b+c\right)-\frac{a+b+c}{2}-\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}+3\)
\(=\frac{5\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}+3\)
\(\ge\frac{5.\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}{2}-\frac{3.3}{2}+3=\frac{15}{2}-\frac{9}{2}+3=6\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(P\ge\frac{4}{2+a^2+b^2+6ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2+4ab+1}=\frac{2}{1+2ab}\)
Lại có \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=\frac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
#)Trả lời :
\(VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{a+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}\)
Tách VT = A + B và xét :
\(A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3b}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab}{2}\right)\)
\(B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(\Rightarrow VT=A+B=3+\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\)\(\sum\)\(ab=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6\)
( Do \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\))
Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1
Tham khảo nhé ^^
Ta có: \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\ge\sqrt{\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\sqrt{3};\sqrt{a^2+b^2+c^2}\le\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}=3\).
Đặt \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}=t\) \((\sqrt{3}\leq t\leq 3)\).
Ta có: \(P=t+\dfrac{9-t^2}{4}+\dfrac{1}{t^2}=\dfrac{4t^3+9t^2-t^4+4}{4t^2}\).
\(\Rightarrow P-\dfrac{28}{9}=\dfrac{\left(3-t\right)\left(9t^3-9t^2+4t+12\right)}{36}\).
Do \(\sqrt{3}\le t\le3\) nên \(3-t\geq 0\); \(9t^3-9t^2+4t+12>4t+12>0\).
Nên \(P\ge\dfrac{28}{9}\).
Đẳng thức xảy ra khi t = 3, tức (a, b, c) = (0; 0; 3) và các hoán vị.
Vậy...
Có 2 cáchm cách 1 dài nên làm cách 2 cho ngắn
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
\(\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ac}{c}\right)^2\ge3\left(\frac{bc}{a}\cdot\frac{ca}{b}+\frac{bc}{a}\cdot\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\cdot\frac{ab}{c}\right)=3\left(a^2+b^2+c^2\right)=3\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}\). Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Ta có:
\(2A+54\ge2\left(3ab+bc+ca\right)+3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b\right)^2+2c^2\ge0\)
\(\Rightarrow2A\ge-54\Rightarrow A\ge-27\)
Dấu = khi a=3;b=-3;c=0