Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a)
Sử dụng pp biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)
\(\Leftrightarrow (ab+1)(a^2+b^2+2)\geq 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2)+2ab\geq 2a^2b^2+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng với mọi $ab\geq 1$)
Ta có đpcm.
b) Áp dụng công thức của phần a ta có:
\(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}\geq \frac{2}{1+(ab)^2}\)
Tiếp tục áp dụng công thức phần a: \(\frac{1}{1+(ab)^2}+\frac{1}{1+b^4}\geq \frac{2}{1+ab^3}\)
Do đó:
\(\frac{1}{a^4+1}+\frac{3}{b^4+1}\geq \frac{4}{1+ab^3}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{b^4+1}+\frac{3}{c^4+1}\geq \frac{4}{1+bc^3}; \frac{1}{c^4+1}+\frac{3}{a^4+1}\geq \frac{4}{1+ca^3}\)
Cộng theo vế các BĐT trên thu được:
\(4\left(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\right)\geq 4\left(\frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\right)\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\geq \frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a+2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{c+2}=\dfrac{b}{2\left(b+2\right)}+\dfrac{c}{2\left(c+2\right)}\ge\sqrt{\dfrac{bc}{\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\\\dfrac{1}{b+2}\ge\sqrt{\dfrac{ca}{\left(c+2\right)\left(a+2\right)}}\\\dfrac{1}{c+2}\ge\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\ge\dfrac{abc}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)
\(\Leftrightarrow abc\le1< \dfrac{9}{8}\)
Đề sai !
Giả sử \(a=b=c=1\) thay vào phương trình đầu thì :
\(\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2}=1\) ( Thỏa mãn )
Nhưng \(1.1.1< \dfrac{1}{8}\) ( vô lí )
Lời giải:
Theo hệ thức lượng trong tam giác:\(\sin ^2a=\frac{1-\cos 2a}{2}\)
Áp dụng vào bài toán và sử dụng định lý hàm cos:
\(\sin ^2\frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{2}=\frac{1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2}=\frac{a^2-(b-c)^2}{4bc}\)
Ta cần CM \(\frac{a^2-(b-c)^2}{4bc}\leq \left (\frac{a}{b+c}\right)^2\Leftrightarrow (ab+ac)^2-(b^2-c^2)^2\leq 4a^2bc\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+a^2c^2\leq 2a^2bc+(b^2-c^2)^2\)
\(\Leftrightarrow (b^2-c^2)^2-a^2(b-c)^2\geq 0\Leftrightarrow (b-c)^2[(b+c)^2-a^2]\geq 0\)
BĐT luôn đúng do với \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh tam giác thì \(b+c>a\leftrightarrow (b+c)^2>a^2\)
Vậy \(\sin ^2\frac{A}{2}\leq \left (\frac{a}{b+c}\right)^2\Leftrightarrow \sin \frac{A}{2}\leq \frac{a}{b+c}\) (đpcm)
Tương tự : \(\sin \frac{B}{2}\leq \frac{b}{a+c},\sin \frac{C}{2}\leq \frac{c}{a+b}\)
\(\Rightarrow \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\leq \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
Theo BĐT AM-GM: \((a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8abc\Rightarrow \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{1}{8}\)
\(\Rightarrow \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}\) (đpcm)
a: \(=2ab\cdot\dfrac{-15}{b^2a}=\dfrac{-30}{b}\)
b: \(=\dfrac{2}{3}\cdot\left(1-a\right)=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}a\)
c: \(=\dfrac{\left|3a-1\right|}{\left|b\right|}=\dfrac{3a-1}{b}\)
d: \(=\left(a-2\right)\cdot\dfrac{a}{-\left(a-2\right)}=-a\)
a: \(=\sqrt{\left(2-a\right)^2\cdot\dfrac{2a}{a-2}}=\sqrt{2a\left(a-2\right)}\)
b: \(=\sqrt{\left(x-5\right)^2\cdot\dfrac{x}{\left(5-x\right)\left(5+x\right)}}\)
\(=\sqrt{\left(x-5\right)\cdot\dfrac{x}{x+5}}\)
c: \(=\sqrt{\left(a-b\right)^2\cdot\dfrac{3a}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}}=\sqrt{\dfrac{3a\left(b-a\right)}{b+a}}\)
a) \(\sqrt{\dfrac{9x^2}{25}}+\dfrac{1}{5}x\) (x<0)
=\(\dfrac{-3x}{5}+\dfrac{x}{5}\) (vì x<0)
=\(\dfrac{-2x}{5}\)
b)2xy\(\sqrt{\dfrac{9x^2}{y^6}}-\sqrt{\dfrac{49x^2}{y^2}}\) (x<0 , y>0)
=2xy\(\dfrac{-3x}{y^3}+\dfrac{7x}{y}\)(vì x<y<0)
=\(\dfrac{-6x}{y^2}+\dfrac{7xy}{y^2}\)
=\(\dfrac{7xy-6x}{y^2}\)
c) \(\dfrac{1}{ab}\sqrt{a^6\left(a-b\right)^2}\) (a<b<0)
=\(\dfrac{1}{ab}\sqrt{a^6}\sqrt{\left(a-b\right)^2}\)
=\(\dfrac{1}{ab}\left(-a^3\right)\left(b-a\right)\) (vì a<b<0)
=\(\dfrac{\left(a-b\right)a^3}{a-b}\)
=a3
Cảm ơn bạn Thu Trang nhiều nhé, sau này có gì giúp đỡ nhau nha. 