Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 3:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\((2x+3y)^2\leq (2x^2+3y^2)(2+3)\)
\(\Leftrightarrow A^2\leq 5(2x^2+3y^2)\leq 5.5\)
\(\Leftrightarrow A^2\leq 25\Leftrightarrow A^2-25\leq 0\)
\(\Leftrightarrow (A-5)(A+5)\leq 0\Leftrightarrow -5\leq A\leq 5\)
Vậy \(A_{\min}=-5\Leftrightarrow (x,y)=(-1;-1)\)
\(A_{\max}=5\Leftrightarrow x=y=1\)
Bài 4:
Lời giải:
\(B=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\)
\(\Rightarrow B^2=(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x})^2=4+2\sqrt{(x-1)(5-x)}\)
Vì \(\sqrt{(x-1)(5-x)}\geq 0\Rightarrow B^2\geq 4\)
Mặt khác \(B\geq 0\)
Kết hợp cả hai điều trên suy ra \(B\geq 2\)
Vậy \(B_{\min}=2\).
Dấu bằng xảy ra khi \((x-1)(5-x)=0\Leftrightarrow x\in\left\{1;5\right\}\)
---------------------------------------
\(A=\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\)
\(\Rightarrow A^2=2x^2+2+2\sqrt{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}\)
\(\Leftrightarrow A^2=2x^2+2+2\sqrt{(x^2+1)^2-x^2}=2x^2+2+2\sqrt{x^4+1+x^2}\)
Vì \(x^2\geq 0\forall x\in\mathbb{R}\)
\(\Rightarrow A^2\geq 2+2\sqrt{1}\Leftrightarrow A^2\geq 4\)
Mà $A$ là một số không âm nên từ \(A^2\geq 4\Rightarrow A\geq 2\)
Vậy \(A_{\min}=2\Leftrightarrow x=0\)
1: \(=3\left(x+\dfrac{2}{3}\sqrt{x}+\dfrac{1}{3}\right)\)
\(=3\left(x+2\cdot\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{9}\right)\)
\(=3\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{2}{3}>=3\cdot\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{3}=1\)
Dấu '=' xảy ra khi x=0
2: \(=x+3\sqrt{x}+\dfrac{9}{4}-\dfrac{21}{4}=\left(\sqrt{x}+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{21}{4}>=-3\)
Dấu '=' xảy ra khi x=0
3: \(A=-2x-3\sqrt{x}+2< =2\)
Dấu '=' xảy ra khi x=0
5: \(=x-2\sqrt{x}+1+1=\left(\sqrt{x}-1\right)^2+1>=1\)
Dấu '=' xảy ra khi x=1
Bài 3: \(A=\frac{\left(2a+b+c\right)\left(a+2b+c\right)\left(a+b+2c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Đặt a+b=x;b+c=y;c+a=z
\(A=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Bài 4: \(A=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}=\frac{9x-18}{2-x}+\frac{18}{2-x}+\frac{2}{x}\ge-9+\frac{\left(\sqrt{18}+\sqrt{2}\right)^2}{2-x+x}=-9+\frac{32}{2}=7\)
Dấu = xảy ra khi\(\frac{\sqrt{18}}{2-x}=\frac{\sqrt{2}}{x}\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
1/ Ta có: \(x^2-2x-1=\left(\sqrt{2}+1\right)^2-2\left(\sqrt{2}+1\right)-1=0\)
\(\Rightarrow P=\left(x^4-4x^3+4x^2-2\right)^5+\left(x^3-3x^2-x-1\right)^6\)
\(=\left[\left(x^4-2x^3-x^2\right)+\left(-2x^3+4x^2+2x\right)+\left(x^2-2x-1\right)-1\right]^5+\left[\left(x^3-2x^2-x\right)+\left(-x^2+2x+1\right)-2x-2\right]^6\)
\(=\left(-1\right)^5+\left(-2x-2\right)^6\)
Xong
5) Lợi dụng AM-GM :v
\(a^4+a^4+a^4+b^4\ge4a^3b\)
\(b^4+b^4+b^4+a^4\ge4b^3a\)
\(\Rightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+a^4+ab^3+a^3b=\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{a+b}{2ab}+\dfrac{b+c}{2bc}+\dfrac{c+a}{2ac}=\dfrac{\left(a+b\right)c}{2abc}+\dfrac{\left(b+c\right)a}{2abc}+\dfrac{\left(c+a\right)b}{2abc}=\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{2abc}=1\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=3\)
a) Vì biểu thức \(\sqrt{\dfrac{-5}{x^2+6}}\)có -5<0 nên làm cho cả phân số âm
Từ đó suy ra căn thức vô nghiệm
Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức trên xác định
b) \(\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}\)
Để biểu thức trên xác định thì chia ra 4 TH (vì để xác định thì cả x-1 và x-3 cùng dương hoặc cùng âm)
\(\left[\begin {array} {} \begin{cases} x-1\geq0\\ x-3\geq0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x\geq1\\ x\geq3 \end{cases} \Rightarrow x\geq3 \\ \begin{cases} x-1\leq0\\ x-3\leq0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x\leq1\\ x\leq3 \end{cases} \Rightarrow x\leq1 \end{array} \right.\)
c) \(\sqrt{x^2-4}\) \(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)
Rồi làm như câu b
d) \(\sqrt{\dfrac{2-x}{x+3}}\)
Để biểu thức trên xác định thì
\(\begin{cases}2-x\ge0\\x+3>0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge2\\x>-3\end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(x\ge2\) hoặc \(x>-3\)
e) Ở các biểu thức sau này nếu chỉ có căn thức có ẩn và + (hoặc trừ) với 1 số thì chỉ cần biến đổi cái có ẩn còn cái số thì kệ xác nó đi 
)
\(\sqrt{x^2-3x}\Leftrightarrow\sqrt{x\left(x-3\right)}\)
Để biểu thức trên xác định thì \(x\ge0\) và \(x-3\ge0\Leftrightarrow x\ge3\)
Bữa sau mình làm tiếp
B1:
a. \(\sqrt{\dfrac{4}{2x+3}}\)được xác định khi:\(\dfrac{4}{2x+3}\ge0\Leftrightarrow2x+3>0\Leftrightarrow x>-\dfrac{3}{2}\)
b.\(\sqrt{x\left(x+2\right)}\text{ }\) được xác định khi :\(x\left(x+2\right)\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x+2\ge0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x\le0\\x+2\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge0\\x\le-2\end{matrix}\right.\)
c.\(\sqrt{\dfrac{2x-1}{2-x}}\) được xác định khi :\(\dfrac{2x-1}{2-x}\ge0\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\le x< 2\)
B2:
a.\(\sqrt{\left(\sqrt{3}-2\right)^2}=|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}\) ( vì \(\sqrt{3}< \sqrt{4}=2\))
b.\(\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}=|\sqrt{3}-1|=\sqrt{3}-1\)(vì \(\sqrt{3}>\sqrt{1}=1\))
c.\(\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{5-4\sqrt{5}+4}=\sqrt{\left(\sqrt{5}-2\right)^2}=|\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}-2\)(vì \(\sqrt{5}>\sqrt{4}=2\))
B3:
a.\(\sqrt{25-20x+4x^2}+2x=5\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(5-2x\right)^2}+2x=5\)
\(\Leftrightarrow|5-2x|+2x=5\) (1)
Nếu \(5-2x\le0\Leftrightarrow x\ge\dfrac{5}{2}\).Khi đó :
(1)\(\Leftrightarrow2x-5+2x=5\Leftrightarrow4x=10\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}\)(thoả mãn đk)
Nếu \(5-2x>0\Leftrightarrow x< \dfrac{5}{2}\).Khi đó :
(1)\(\Leftrightarrow5-2x+2x=5\Leftrightarrow5=5\)(luôn đúng với mọi x )
kết hợp với điều kiện ta được :\(x< \dfrac{5}{2}\)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x=\dfrac{5}{2}\) hoặc \(x< \dfrac{5}{2}\)
b.\(\sqrt{x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{16}}=\dfrac{1}{4}-x\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2}=\dfrac{1}{4}-x\)
\(\Leftrightarrow|x+\dfrac{1}{4}|=\dfrac{1}{4}-x\) (2)
Nếu \(x+\dfrac{1}{4}\le0\Leftrightarrow x\le-\dfrac{1}{4}\).Khi đó :
(2)\(\Leftrightarrow-\left(x+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{4}-x\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}-x=\dfrac{1}{4}-x\) (luôn đúng với mọi x)
kết hợp với điều kiện ta được :\(x\le-\dfrac{1}{4}\)
Nếu \(x+\dfrac{1}{4}>0\Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{4}\).Khi đó :
(2)\(\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}-x\Leftrightarrow2x=0\Leftrightarrow x=0\)(tmđk)
Vậy nghiêm của phương trình là \(x\le-\dfrac{1}{4}\) hoặc \(x=0\)
c.\(\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=2\) (đkxđ :\(x\ge1\))
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1}=2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=2\)
\(\Leftrightarrow|\sqrt{x-1}-1|=2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-1=2ho\text{ặc}\sqrt{x-1}-1=-2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=3ho\text{ặc}\sqrt{x-1}=-1\)(vô nghiệm )
\(\Leftrightarrow x=10\)(tmđk )
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x=10\)
Bài 1:
a: ĐKXĐ: 2x+3>=0 và x-3>0
=>x>3
b: ĐKXĐ:(2x+3)/(x-3)>=0
=>x>3 hoặc x<-3/2
c: ĐKXĐ: x+2<0
hay x<-2
d: ĐKXĐ: -x>=0 và x+3<>0
=>x<=0 và x<>-3
\(A=\left(x-2\right)\cdot\sqrt{\dfrac{9}{\left(x-2\right)^2}}+3=\dfrac{3\left(x-2\right)}{\left|x-2\right|}+3=\dfrac{3\left(x-2\right)}{-\left(x-2\right)}=-3+3=0\)
\(B=\sqrt{\dfrac{a}{6}}+\sqrt{\dfrac{2a}{3}}+\sqrt{\dfrac{3a}{2}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{6}}+\dfrac{\sqrt{2a}}{\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{3a}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{a}+2\sqrt{a}+3\sqrt{a}}{\sqrt{6}}=\dfrac{6\sqrt{a}}{\sqrt{6}}=\sqrt{6a}\)
\(E=\sqrt{9a^2}+\sqrt{4a^2}+\sqrt{\left(1-a\right)^2}+\sqrt{16a^2}=3\left|a\right|+2\left|a\right|+\left|1-a\right|+4\left|a\right|=9\left|a\right|+1-a=-9a+1-a=-10a+1\)
\(F=\left|x-2\right|\cdot\dfrac{\sqrt{x^2}}{x}=\left|x-2\right|\cdot\dfrac{\left|x\right|}{x}=\dfrac{x\left(x-2\right)}{x}=x-2\)
\(H=\dfrac{x^2+2\sqrt{3}\cdot x+3}{x^2-3}=\dfrac{\left(x+\sqrt{3}\right)^2}{\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)}=\dfrac{x+\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}\)
\(I=\left|x-\sqrt{\left(x-1\right)^2}\right|-2x=\left|x-\left(-\left(x-1\right)\right)\right|-2x=\left|x+x-1\right|-2x=\left|2x-1\right|-2x=1-4x\)