Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(Q=x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=\left(\sqrt{x}\right)^3+\left(\sqrt{y}\right)^3=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x+y-\sqrt{xy}\right)\)
\(=x+y-\sqrt{xy}\)
Đặt \(a=\sqrt{x},b=\sqrt{y}\) (\(a,b\ge0\))
Ta đưa bài toán trở về dạng tìm max và min của biểu thức \(Q=a^2+b^2-ab\) biết \(a+b=1\)
\(Q=\left(a+b\right)^2-3ab\ge\left(a+b\right)^2-\frac{3.\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b\\a,b\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4}\)
Lại có \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}0\le x\le1\\0\le y\le1\end{cases}}\)
Khi đó ta có \(Q\le1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = 0 , y = 1 hoặc x = 1 , y = 0
Vậy : minQ = 1/4 <=> x = y = 1/4
maxQ = 1 <=> (x,y) = (0;1) ; (1;0)
a) Tìm min max A = \(\frac{4x+3}{x^2+1}\)
b) Cho x + y = 15 Tìm min max B = \(\sqrt{x-4}+\sqrt{y-3}\)
Ta có \(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\le\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
\(\sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\)
\(\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)\le6\sqrt{2}\)
Ta lại có \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\le3\)
Theo đề bài ta có
\(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+3\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\le6\sqrt{2}+\left(3-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le3\sqrt{2}+9\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1
Ukm
It's very hard
l can't do it
Sorry!
1) ĐK: x \(\ge\)1; y \(\ge\)2
Áp dụng bđt \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\le\)\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\) (cho 2 sô a;b > 0) ta co:
\(\frac{A}{2}\le\sqrt{\frac{x-1+y-2}{2}}=\sqrt{\frac{4-3}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(A=\sqrt{\frac{1}{2}}.2=\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix}x-1=y-2\\x+y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=\frac{3}{2}\\y=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\)
2) ĐK: x \(\ge\)1; y \(\ge\)2
Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số dương ta có:
\(\frac{\sqrt{x-1}}{x}=\frac{\sqrt{1.\left(x-1\right)}}{x}\le\frac{1+x-1}{2x}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{y-2}}{y}=\frac{\sqrt{2.\left(y-2\right)}}{\sqrt{2}.y}\le\frac{2+y-2}{\sqrt{2}.2y}=\frac{1}{\sqrt{2}.2}\)
\(B=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}\)\(\le\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}.2}=\frac{2}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix}x-1=1\\y-2=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=2\\y=4\end{matrix}\right.\)