Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2, 5a+b+3c/a-b+c>1 <=> a-b+c+4a+2b+2c/a-b+c>1
<=>4a+2b+2c/a-b+c > 0 (1)
xét P(2)=4a+2b+c>0,P(-1)=a-b+c>0 (do P(x)>0 với mọi x)
=>P(2)/P(-1)>0 => (1) đúng =>đpcm
3, hóng cao nhân
-đề chuyên LQĐ
1,Bổ đề : (a^2+b^2+c^2)(a+b+c) >= 3(a^2b+b^2c+c^2a) (nhân bung rồi Cauchy từng cặp 2 số)
từ đó P <= (a+b+c)/3-(a+b+c)^2/9=x/3-x^2/9 (với x=a+b+c>0)=x/3-(x/3)^2=t-t^2(với t=a+b+c>0)=t(1-t)<=(t+1-t)^2/4=1/4
maxP=1/4,đạt tại a=b=c=1/2
\(\frac{1}{2a^2+b^2}+\frac{1}{2b^2+c^2}+\frac{1}{2c^2+a^2}=\frac{1}{a^2+a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+c^2+a^2}\)
\(< =\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\right)\)(bđt svacxo)
\(=\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\right)=\frac{1}{9}\cdot3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(=\frac{1}{9}\cdot3\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\cdot1=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2a^2+b^2}+\frac{1}{2b^2+c^2}+\frac{1}{2c^2+a^2}< =\frac{1}{9}\)(đpcm)
dấu = xảy ra khi \(\frac{1}{a^2}=\frac{1}{b^2}=\frac{1}{c^2}=\frac{1}{9}\Rightarrow a=b=c=3\)
c) Có \(P=\frac{ax+b}{x^2+1}=-1+\frac{x^2+ax+b+1}{x^2+1}\);
\(P=\frac{ax+b}{x^2+1}=4-\frac{4x^2-ax-b+4}{x^2+1}\)
Để Min P = 1 và Max P = 4 thì
\(\hept{\begin{cases}x^2+ax+b+1=\left(x+c\right)^2\\4x^2-ax-b+4=\left(2x+d\right)^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\left(a-2c\right)+\left(b+1-c^2\right)=0\left(1\right)\\x\left(-a-4d\right)+\left(-b+4-d^2\right)=0\left(2\right)\end{cases}}\)
(1) = 0 khi \(\hept{\begin{cases}a=2c\\b=c^2-1\end{cases}}\)(3)
(2) = 0 khi \(\hept{\begin{cases}a=-4d\\b=4-d^2\end{cases}}\)(4)
Từ (3) (4) => d = 1 ; c = -2 ; b = 3 ; a = -4
Vậy \(P=\frac{-4x+3}{x^2+1}\)
ĐK \(x\ge y\)
Đặt \(\sqrt{x+y}=a;\sqrt{x-y}=b\left(a;b\ge0\right)\)
HPT <=> \(\hept{\begin{cases}a^4+b^4=82\\a-2b=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2b+1\right)^4+b^4=82\\a=2b+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}17b^4+32b^3+24b^2+8b-81=0\\a=2b+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}17b^4-17b^3+49^3-49b^2+73b^2-73b+81b-81=0\\a=2b+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(b-1\right)\left(17b^3+49b^2+73b+81\right)=0\left(1\right)\\a=2b+1\end{cases}}\)
Giải (1) ; kết hợp điều kiện => b = 1
=> Hệ lúc đó trở thành \(\hept{\begin{cases}b=1\\a=2b+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\a=3\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+y}=3\\\sqrt{x-y}=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=9\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=10\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}}\)
Vậy hệ có 1 nghiệm duy nhất (x;y) = (5;4)
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)\)
Tương tự cộng vế theo vế thì
\(M\ge\frac{5}{4}\left(2a+2b+2c\right)=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{5}{2}\cdot2019\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2019}{3}\)
bài 4 có trên mạng nha chị.tí e làm cách khác
bài 5 chị tham khảo bđt min cop ski r dùng svác là ra ạ.giờ e coi đá bóng,coi xong nghĩ tiếp ạ.
B3 mk tìm đc cách giải r nhưng bạn nào muốn thì trả lời cg đc
Các bạn giải giúp mình B2 và B5 nhé. Mấy bài kia mình giải được rồi.
\(\frac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}+\frac{c\left(2b-c\right)}{b\left(c+a\right)}+\frac{a\left(2c-a\right)}{c\left(a+b\right)}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[2-\frac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}\right]+\left[2-\frac{c\left(2b-c\right)}{b\left(c+a\right)}\right]+\left[2-\frac{a\left(2c-a\right)}{c\left(a+b\right)}\right]\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b^2+2ca}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2+2ab}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2+2bc}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{9}{2}\)
Áp dụng BĐT Schwarz, ta có :
\(\frac{b^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)( 1 )
\(\frac{ac}{a\left(b+c\right)}+\frac{ab}{b\left(c+a\right)}+\frac{bc}{c\left(a+b\right)}=\frac{c^2}{c\left(b+c\right)}+\frac{a^2}{a\left(a+c\right)}+\frac{b^2}{b\left(a+b\right)}\) ( 2 )
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\)
Cộng ( 1 ) với ( 2 ), ta được :
\(\frac{b^2+2ca}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2+2ab}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2+2bc}{c\left(a+b\right)}\)
\(\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{2\left(ab+bc+ac\right)}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\right)\)
\(\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{\left(1+2\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)+2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\right)}\right)=\frac{9}{2}\)
không biết cách này ổn không
Ta có : \(\frac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}=\frac{2-\frac{b}{a}}{\frac{c}{b}+1}\) ; tương tự :...
đặt \(\frac{a}{c}=x;\frac{b}{a}=y;\frac{c}{b}=z\Rightarrow xyz=1\)
\(\Sigma\frac{2-y}{z+1}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\Sigma xy^2+2\Sigma x^2+\Sigma xy\ge3\Sigma x+6\)( quy đồng khử mẫu )
\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{x}{y}\ge\Sigma x\)( xyz = 1 ) ( luôn đúng )
\(\Rightarrowđpcm\)
\(x=\left(\sqrt{2}+1\right)^2=3+2\sqrt{2}\)
Do x là nghiệm của pt nên:
\(a.\left(3+2\sqrt{2}\right)^2+b.\left(3+2\sqrt{2}\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(17+12\sqrt{2}\right)a+\left(3+2\sqrt{2}\right)b+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(12a+2b\right)\sqrt{2}=-17a-3b-1\)
Do a;b là số hữu tỉ và \(\sqrt{2}\) vô tỉ nên dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}12a+2b=0\\-17a-3b-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-6\end{matrix}\right.\)
3/
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2+2b^2c^2-4b^2c^2< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2-c^2\right)^2-\left(2bc\right)^2< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2+2bc-c^2\right)\left(a^2-b^2-2bc-c^2\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2-\left(b-c\right)^2\right]\left[a^2-\left(b+c\right)^2\right]< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b-c\right)\left(a+b+c\right)< 0\) (1)
Do a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên
\(\left\{{}\begin{matrix}a+c-b>0\\a+b-c>0\\a+b+c>0\\a-b-c< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(1\right)\) luôn đúng
4/ \(A=x^3-3x^2+x+2=\left(x-2\right)\left(x^2-x-1\right)\)
Để A là SCP \(\Rightarrow A\ge0\Rightarrow x\ge0\)
Gọi \(ƯC\left(x-2;x^2-x-1\right)=d\)
\(\Rightarrow\left(x^2-x-1\right)-x\left(x-2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow x-1⋮d\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)-\left(x-2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow x^2-x-1\) và \(x-2\) nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow A\) là số chính phương khi và chỉ khi \(\left[{}\begin{matrix}x-2=x^2-x-1\\\left\{{}\begin{matrix}x-2=a^2\\x^2-x-1=b^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
TH1: \(x-2=x^2-x-1\Rightarrow x=1\)
TH2: \(x^2-x-1=b^2\Leftrightarrow4x^2-4x-4=4b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2-\left(2b\right)^2=5\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-2b-1\right)\left(2x+2b-1\right)=5\)
Tự giải pt ước số và thay lại kiểm tra
Tặng ca nầy