Question

[Trần Ngọc Mỹ Duyên]

 Chứng minh rằng nếu mỗi số trong hai số nguyên là tổng các bình phương của hai số nguyên nào đó thì tích của chúng có thể viết dưới dạng tổng hai bình phương.

    Mong mọi người giúp đỡ!~

Answer 1

[T.Anh 2K7(siêu quậy)(тoáɴ๖ۣۜнọc)]

Giả sử:\(x=a^2+b^2;y=c^2+d^2\)

Ta có:\(xy=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)=\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(bd\right)^2\)

\(=\left[\left(ac\right)^2+2acbd+\left(bd\right)^2\right]+\left[\left(ad\right)^2-2adbc+\left(bc\right)^2\right]=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\left(đpcm\right)\)

Answer 2

[KCLH Kedokatoji]

Giả sử hai số nguyên đó là m,n.

Theo gt: m=a²+b², n=c²+d² (a,b,c,d thuộc Z)

Ta có:

 \(mn=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

\(=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)

\(=\left(a^2d^2+b^2c^2+2abcd\right)+\left(a^2c^2+b^2d^2-2abcd\right)\)

\(=\left(ad+bc\right)^2+\left(ac-bd\right)^2\)(đpcm)