Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.
\(\frac{x^2}{4}+x+3=\frac{x^2}{4}+x+1+2=\left(\frac{x}{2}+1\right)^2+2>0;\forall x\)
b.
\(A=-3x^2+2x-5=-3\left(x^2-2.\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}\right)-\frac{14}{3}=-3\left(x-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{14}{3}\le-\frac{14}{3}\)
\(A_{max}=-\frac{14}{3}\) khi \(x=\frac{1}{3}\)
c.
Đề thiếu (để ý 2 số hạng cuối)
\(A=x^4-2x^3+x^2+3x^2-6x+3-1\)
\(=\left(x^2-x\right)^2+3\left(x-1\right)^2-1\ge-1\)
\(A_{min}=-1\) khi \(x=1\)
d.
\(27x^2-\frac{9}{2}x+\frac{3}{16}=3\left(9x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{16}\right)=3\left(3x-\frac{1}{4}\right)^2\)
e.
\(=\left[\left(b+c\right)+a\right]^2+\left[\left(b+c\right)-a\right]^2+\left[a-\left(b-c\right)\right]^2+\left[a+\left(b-c\right)\right]^2\)
\(=2\left(b+c\right)^2+2a^2+2a^2+2\left(b-c\right)^2\)
\(=4a^2+2b^2+4bc+2c^2+2b^2-4bc+2c^2\)
\(=4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
f.
\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\)
\(=\left(a^2c^2+b^2d^2+2ac.bd\right)+\left(a^2d^2+b^2c^2-2ad.bc\right)\)
\(=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)
B1:
\(=x^2+2x-5x-10+3\left(x^2-2^2\right)-\left(9x^2-2.3x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+5x^2\)
\(=-10-12-\frac{1}{4}=-22\frac{1}{4}\)
Bài 1.
( x - 5 )( x + 2 ) + 3( x - 2 )( x + 2 ) - ( 3x - 1/2 )2 + 5x2
= x2 - 3x - 10 + 3( x2 - 4 ) - ( 9x2 - 3x + 1/4 ) + 5x2
= 6x2 -- 3x - 10 + 3x2 - 12 - 9x2 + 3x - 1/4
= -89/4 không phụ thuộc vào biến
=> đpcm
Bài 2 < mình viết luôn nhé >
a) ( x + 2y2 )2 = x2 + 4xy2 + 4y4
b) ( a - 5/2b )2 = a2 - 5ab + 25/4b2
c) ( m + 1/2 )2 = m2 + m + 1/4
d) x2 - 16y4 = ( x + 4y2 )( x - 4y2 )
e) 25a2 - 1/4b2 = ( 5a + 1/2b )( 5a - 1/2b )
Viết tổng sau dưới dạng tích và tính giá trị biểu thức với x = -8x=−8.
Bài 1:
a) \(\left(a-b^2\right)\left(a+b^2\right)=a^2-b^4\)
b) \(\left(a^2+2a-3\right)\left(a^2+2a+3\right)=\left(a^2+2a\right)^2-9\)
c) \(\left(a^2+2a+3\right)\left(a^2-2a-3\right)=a^2-\left(2a+3\right)^2\)
d) \(\left(a^2-2a+3\right)\left(a^2+2a+3\right)=9-\left(a^2-2a\right)^2\)
e) \(\left(-a^2-2a+3\right)\left(-a^2-2a+3\right)=\left(-a^2-2a+3\right)^2\)
g) \(\left(a^2+2a+3\right)\left(a^2-2a+3\right)=\left(a^2+3\right)^2-4a^2\)
f) \(\left(a^2+2a\right)\left(2a-a^2\right)=4a^2-a^4\)
Bài 2 :
a) \(\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)=x^3+1\)
b) \(\left(x+y+z\right)^2=\left(x+y+z\right)\left(x+y+z\right)=x^2+xy+xz+yx+y^2+yz+zx+zy+z^2=x^2+2xy+2yz+2xz+y^2+z^2\)
c) \(\left(x-y+z\right)^2=\left(x-y+z\right)\left(x-y+z\right)=x^2-xy+xz-xy+y^2-yz+xz-yz+z^2=x^2+y^2+z^2-2xy+2xz-2yz\)d) \(\left(x-2y\right)\left(x^2+2xy+4y^2\right)=\left(x-2y\right)^3\)
e) \(\left(x-y-z\right)^2=\left(x-y-z\right)\left(x-y-z\right)=x^2-xy-xz-xy+y^2+yz-xz+yz+z^2=x^2-2xy-2xz+2yz+y^2+z^2\)
bài 1 :
a) 6(x+1)2 - (x-3)(x2 + 3x +9) + (x-2)2
= 6( x2 + 2x + 1 ) - (x3 + 3x2 + 9x - 3x2 - 9x - 27 ) + x2 - 4x + 4
= 6x2 + 12x + 6x - x3 - 3x2 - 9x + 3x2 + 9x + 27 + x2 - 4x + 4
= -x3 + 7x2 + 14x + 31 (1)
Thay x = 2 vào biểu thức (1) ta được :
\(\left(-2\right)^3+7.2^2+14.2+31\) = 79
Vậy với x = 2 giá trị của biểu thức (1) là 79
b) \(\left(2x-1\right)\left(3x+1\right)+\left(3x-4\right)\left(3-2x\right)\)
= 6x2 + 2x - 3x - 1 + 9x - 6x2 - 12 + x
= 9x - 13 (2)
Thay x= \(\dfrac{9}{8}\) Vào biểu thức (2) ta được :
9.\(\dfrac{9}{8}\) - 13 = \(-\dfrac{23}{8}\)
Vậy với x = 9/8 giá trị của biểu thức (2) là -\(\dfrac{23}{8}\)
a. \(VT=\left(x+a\right)\left(x+b\right)=x^2+ã+bx+ab=x^2+\left(a+b\right)x+ab=VP\)
B. \(VT=\left(x+a\right)\left(x+b\right)\left(x+c\right)=\left[\left(x+a\right)\left(x+b\right)\right].\left(x+c\right)\)
\(=\left[\left(x^2+\left(a+b\right)x\right)+ab\right].\left(x+c\right)=x^3+x^2c+\left(a+b\right)x^2+c\left(a+b\right)x+abx+abc\)
\(=x^3+\left(a+b+c\right)x^2+\left(ab+bc+ca\right)x+abc=VP\)
Ý 3 bạn bỏ dòng áp dụng....ta có nhé
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}b+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}c+c^2\right)+\)\(\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{d}d+d^2\right)+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)+\left(\frac{a}{2}-c\right)+\)\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=d=0
6) Sai đề
Sửa thành:\(x^2-4x+5>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1>0\)
7) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b\ge2.\sqrt{ab}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{ab}{2.\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\frac{cb}{c+b}\le\frac{cb}{2.\sqrt{cb}}=\frac{\sqrt{cb}}{2}\)
\(\frac{ca}{c+a}\le\frac{ca}{2.\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
Cộng vế với vế của các BĐT trên ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\le\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}}{2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
1)\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2\ge xy\) ( vì x;y\(\ge0\))
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
2) \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
3) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)\(\forall a\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}\ge a\forall a\)
\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\)\(\forall b\Leftrightarrow\frac{b^2}{2}+\frac{1}{2}\ge b\forall b\)
\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\forall a;b\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}\ge ab\forall a;b\)
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:
\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
4) \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2-2.a.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[b^2-2.b.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[c^2-2.c.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a;b;c\)( luôn đúng)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/2
\(\text{( x + a )( x + b )}\)\(\text{( nhân 2 đa thức)}\)
\(=x^2+xb+ax+ab\)
\(=x^2=\left(b+a\right)x+ab\)\(\text{(đặt x làm thừa số chung)}\)
\(\text{Các bài dưới tương tự nhé}\)