Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(4\sqrt{8-x}+4\sqrt{8-y}+4\sqrt{8-z}\)
\(\le8-x+4+8-y+4+8-z+4\)
\(=36-x-y-z\)
\(=48-\left(x+4\right)-\left(y+4\right)-\left(z+4\right)\)
\(\le48-4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(=48-4.6=24\)
\(\Rightarrow\sqrt{8-x}+\sqrt{8-y}+\sqrt{8-z}\le6\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=4\)
bạn tham khảo nhé:
Vì \(x,y,z\ge0\)không mất tính tổng quát ta giả sử \(x\ge y\ge z\)
hệ \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3\sqrt{x}=6\\3\sqrt{8-x}=6\end{cases}\Leftrightarrow3\sqrt{x}=3\sqrt{8-x}\Leftrightarrow x=4}\)
\(\Rightarrow4\ge y\ge z\)
Nếu \(x=1\)thì \(\sqrt{8-x}=\sqrt{7}\left(L\right)\)
nếu \(x=2\)thì \(\sqrt{x}=\sqrt{2}\left(L\right)\)
\(\)nếu \(x=3\)thì \(\sqrt{x}=\sqrt{3}\left(L\right)\)
Loại vì các số vô tỉ không thẻ nào cộng lại là 1 số nguyên
Vậy \(\left(x;y;z\right)\)là \(\left(4;4;4\right)\)
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{2-x}+\sqrt{2-y}+\sqrt{2-z}=3\left(1\right)\\\sqrt{8+x}+\sqrt{8+y}+\sqrt{8+z}=9\left(2\right)\end{cases}}\)( ĐKXĐ : -8 < x ; y ; z < 2 )
Áp dụng bđt B.C.S cho pt (1) và (2) ta được :
\(\sqrt{2-x}+\sqrt{2-y}+\sqrt{2-z}\le\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(2-x+2-y+2-z\right)}\)
\(\Leftrightarrow3\le\sqrt{3\left(6-x-y-z\right)}\)
\(\Leftrightarrow3\le6-x-y-z\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\le3\)(*)
\(\sqrt{8+x}+\sqrt{8+y}+\sqrt{8+z}\le\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(8+x+8+y+8+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow9\le\sqrt{3\left(24+x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow81\le3\left(24+x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)(**)
Từ (*) và (**) => x + y + z = 3
<=> x = y = z =1 (Vì x ; y ; z có vai trò như nhau ) ( tm ĐKXĐ )
Vậy x = y = z = 1
P/S : Bài này cứ để ý mấy cái căn có vai trò như nhau là nghĩ ra dùng Bunhiacopxki luôn ^^
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+2\sqrt{x}=x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x}\ge3\sqrt[3]{x^2\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}=3x\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}y^2+2\sqrt{y}\ge3y\\z^2+2\sqrt{z}\ge3z\end{cases}}\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta được:\(\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\ge3\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)^2\). Suy ra
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\ge x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\ge xy+yz+xz\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x=y=z\end{cases}}\Rightarrow x=y=z=1\)
Vậy hệ pt có nghiệm là (x;y;z)=(1;1;1)
Xét phương trình đầu ta có:
\(\frac{3}{xyz}=x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\Leftrightarrow xyz.\sqrt[3]{xyz}\le1\)
\(\Leftrightarrow xyz\le1\)(1)
Xét phương trình 2 ta có
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=3\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=9\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{xyz}+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=9\)
\(\Leftrightarrow9=\frac{1}{xyz}+\frac{1}{xyz}+\frac{1}{xyz}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\ge9\sqrt[9]{\frac{1}{xyz}}\)
\(\Rightarrow1\ge\sqrt[9]{\frac{1}{xyz}}\)
\(\Leftrightarrow xyz\ge1\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra xyz = 1
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1
Điều kiện:
\(x,y,z\ge-1\)
Xét các trường hợp, dùng phương pháp dánh giá, CM được: \(x=y=z\)
Thế vào tìm được nghiệm:
\(x=y=z=\frac{1\pm\sqrt{5}}{x}\)
P/s: Ko chắc
Sửa đề
\(\hept{\begin{cases}x+y+z=6\\\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}=6\end{cases}}\)
Điều kiện: \(x+y,y+z,z+x\ge0\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+y}=a\\\sqrt{y+z}=b\\\sqrt{z+x}=c\end{cases}}\) thì ta có hệ
\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=12\\a+b+c=6\end{cases}}\)
Ma ta có:
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{36}{3}=12\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=2\)
\(\Rightarrow x=y=z=2\)
Alibaba nguyen dung roi nhung quen chua dat c=\(\sqrt{z+x}\)
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)=32\\\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}=8\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=32\\a+b+c=8\end{cases}}}\)
\(a^2+b^2+c^2=2a+2b+2c\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0.\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{16}{3}\)
Sai rồi làm lại đi bạn