Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài làm:
Ta xét: \(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b+c}{4bc}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}.\frac{b+c}{4bc}}=2.\frac{1}{2a}=\frac{1}{a}\)
Tương tự ta chứng minh được: \(\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}\ge\frac{1}{b}\)và \(\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow VT+\frac{1}{4}\left(\frac{b+c}{bc}+\frac{c+a}{ca}+\frac{a+b}{ab}\right)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow VT+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Dạ nếu em làm còn nhầm lẫn chỗ nào thì mong mn thông cảm ạ!
Ở đoạn tương tự mình viết nhầm phải là: \(\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c+a}{4ca}\ge\frac{1}{b}\) và \(\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{a+b}{4ab}\ge\frac{1}{c}\)nhé!
Học tốt!!!!
ta có:\(\frac{a}{a+1}=1-\frac{1}{a+1};\frac{2b}{2+b}=2-\frac{4}{2+b};\frac{3c}{3+c}=3-\frac{9}{3+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{2+b}+\frac{3c}{3+c}\le\left(1+2+3\right)-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{4}{b+2}+\frac{9}{c+3}\right)\)
\(\le6-\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+1+2+3}=6-\frac{36}{7}=\frac{6}{7}\left(Q.E.D\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{\frac{9}{4}}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{a+c}{\frac{9}{4}}+\frac{16c^2}{a+b}+a+b\)
\(\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}\cdot\frac{b+c}{\frac{9}{4}}}+2\sqrt{\frac{b^2}{c+a}\cdot\frac{a+c}{\frac{9}{4}}}+2\sqrt{\frac{16c^2}{a+b}\cdot\left(a+b\right)}=\frac{4a+4b}{3}+8c\)
Suy ra
\(VT\ge\frac{4a+4b}{3}+8c-\frac{b+c}{\frac{9}{4}}-\frac{c+a}{\frac{9}{4}}-\left(a+b\right)=\frac{64c-a-b}{9}=VP\)
Dấu "=" khi \(a=b=2c\)
Bài này bạn cũng chú ý tới dấu "=" là xong nhé.
2. Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dương \(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\)ta có
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}\)\(=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Từ giả thiết ta có \(1+c^2=ab+bc+ac+c^2=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\) ; \(1+a^2=ab+bc+ac+a^2=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
\(1+b^2=ab+bc+ac+b^2=\left(b+a\right)\left(b+c\right)\)
Suy ra \(\frac{a+b}{1+c^2}+\frac{b+c}{1+a^2}+\frac{c+a}{1+b^2}=\frac{a+b}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{b+c}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c+a}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Theo BĐT Cauchy , ta có : \(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{27\left(a+b\right)^2}{\left(a+b+b+c+c+a\right)^3}=\frac{27\left(a+b\right)^2}{8\left(a+b+c\right)^3}\)
Tương tự : \(\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{27\left(b+c\right)^2}{8\left(a+b+c\right)^3}\) ; \(\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{27\left(c+a\right)^2}{8\left(a+b+c\right)^3}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{9}{8\left(a+b+c\right)^3}.3\left[\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\right]\)
\(\ge\frac{9}{8\left(a+b+c\right)^3}.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]^2\) (Áp dụng BĐT Bunhiacopxki)
\(=\frac{9.4\left(a+b+c\right)^2}{8\left(a+b+c\right)^3}=\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\) (đpcm)
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
3.
\(5a^2+2ab+2b^2=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(4a^2+4ab+b^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(2a+b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}\ge2a+b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)
Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}\le\frac{1}{2b+c};\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{1}{2c+a}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{1}{3}.\sqrt{3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow MaxP=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
ko có đk à