K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
QT
1
17 tháng 10 2017
Lời giải
Giả sử: \(\sqrt{2}\) và \(\sqrt{3}\) là các số hữu tỉ
Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}\\\sqrt{3}=\dfrac{x}{y}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2}{b^2}=2\\\dfrac{x^2}{y^2}=3\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2=2b^2\\x^2=3y^2\end{matrix}\right.\) nên \(\left\{{}\begin{matrix}a^2⋮2\\x^2⋮3\end{matrix}\right.\)
Như vậy \(\left\{{}\begin{matrix}b^2⋮2\\y^2⋮3\end{matrix}\right.\) để có thể thỏa mãn điều kiện trên
Vậy \(\sqrt{2}\) và \(\sqrt{3}\) là số vô tỉ
QT
0
KN
Mệnh đề sau là mệnh đề gì
a) 8 là số nguyên tố
b) \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ
c) \(5-\sqrt{2}\)là số vô tỉ
1
12 tháng 7 2019
a, mệnh đề đúng
b, mệnh đề sai
c, mệnh đề đúng
MH
2 tháng 10 2021
Giả sử căn 3 không phải số vô tỉ suy ra:
tồn tại số m và n sao cho căn 3 = m/n (m,n là nguyên tố cùng nhau)
khi đó 3n^2 = m^2
=> m chia hết 3, đặt m=3p ( p là số nguyên)
thay m = 3p ta có
3n^2 = 9p^2
n^2 = 3p^2
=> n chia hết cho 3
=> m và n cùng chia hết cho 3
mâu thuẫn với giả thiết ban đầu , m/n tối giản , m,n là nguyên tố cùng nhau
=> căn 3 là số vô tỉ
HN
Cho a, b là các số hữu tỉ khác 0 và n ∈ N*. Chứng minh rằng:
A=\(a\sqrt{n}+b\sqrt{n+1}\) là số vô tỉ
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 7 2018
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử \(A=a\sqrt{n}+b\sqrt{n+1}\in\mathbb{Q}\)
Bình phương 2 vế:
\(\Rightarrow a^2n+b^2(n+1)+2ab\sqrt{n(n+1)}=A^2\)
\(\Rightarrow 2ab\sqrt{n(n+1)}=A^2-a^2n-b^2(n+1)\in\mathbb{Q}\)
Mà \(2ab\in\mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt{n(n+1)}\in\mathbb{Q}\)
Do \(n\in\mathbb{N}^*\Rightarrow n(n+1)\in\mathbb{N}^*\). Suy ra, để \(\sqrt{n(n+1)}\in\mathbb{Q}\) thì nó phải có dạng \(t\) (\(t\in\mathbb{N})\)
Ta có:
\(\sqrt{n(n+1)}=t\)
\(\Rightarrow n(n+1)=t^2\)
\(\Rightarrow 4n(n+1)=(2t)^2\Rightarrow (2n+1)^2=(2t)^2+1\)
\(\Leftrightarrow (2n+1-2t)(2n+1+2t)=1\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2n+1-2t=1\\ 2n+1+2t=1\end{matrix}\right.\rightarrow n=0\) (vô lý do \(n\in\mathbb{N}^*\) )
Vậy giả sử là sai. Do đó \(A\not\in\mathbb{Q}\) hay A vô tỉ.
BT
8 tháng 5 2017
a) Ta có: \(x^2+\dfrac{1}{x^2+1}=x^2+1+\dfrac{1}{x^2+1}-1\)\(\ge2\sqrt{\left(x^2+1\right).\dfrac{1}{x^2+1}}-1=2-1=1\).
Vì vậy: \(x^2+\dfrac{1}{x^2+1}\ge1\) nên BPT vô nghiệm.
BT
8 tháng 5 2017
b) Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\sqrt{x^2-x+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-x+1}}\ge\)\(2\sqrt{\left(x^2-x+1\right).\dfrac{1}{x^2-x+1}}=2\).
Vì vậy BPT vô nghiệm.
22 tháng 2 2022
Để ý theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2\) sẽ nhỏ hơn hoặc bằng với:
\(\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\right)\left(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ca}+c\sqrt{c^2+8ab}\right)\)
Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
\(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ca}+c\sqrt{c^2+8ab}\)
\(=\sqrt{a}\sqrt{a^3+8abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^3+8abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^3+8abc}\)sẽ nhỏ hơn hoặc bằng với:
\(\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+24abc}\)
Ta chứng minh được \(\left(a+b+c\right)^3\ge a^3+b^3+c^3+24abc\)nên ta được:
\(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ca}+c\sqrt{c^2+8ab}\le\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\right)\left(a+b+c\right)^2\)
Hay \(\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\ge1\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
26 tháng 2 2022
\(\left(1.x+9.\frac{1}{y}\right)^2\le\left(1^2+9^2\right)\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\Rightarrow\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{y}\right)\)
\(TT:\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(y+\frac{9}{z}\right);\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(z+\frac{9}{x}\right)\)
\(S\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{81}{x+y+z}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{82}}\left[\left(x+y+z+\frac{1}{x+y+z}\right)+\frac{80}{x+y+z}\right]\ge\sqrt{82}\)
QT
1
13 tháng 10 2017
N=\(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\)+\(\sqrt{6-4\sqrt{2}}\)
=\(\sqrt{1+2\sqrt{2}+2}\)+\(\sqrt{4-2.2\sqrt{2}+2}\)
=\(\sqrt{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}\)+\(\sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right)^2}\)
=1+\(\sqrt{2}\)+2-\(\sqrt{2}\)=3
cho \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ, khi đó \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow\)2=\(\frac{m^2}{n^2}\)
\(\Rightarrow\)2\(n^2=m^2\)
\(\Rightarrow\)\(m^2⋮n^2\Leftrightarrow m⋮n\)
\(\Rightarrow\)giả sử là vô lý
\(\Rightarrow\)\(\sqrt{2}\)là số vô tỉ