K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 7 2018

Vế trái bậc 0, vế phải bậc 1, không đồng bậc với nhau . BĐT sai ngay với \(a=9,b=3,c=6\)

Sửa: \(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}\)

Chứng minh:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}=\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}=\frac{a^4}{a^2bc}+\frac{b^4}{b^2ac}+\frac{c^4}{c^2ab}\)

\(\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2bc+b^2ac+c^2ab}=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{abc(a+b+c)}(1)\)

Ta có kết quả quen thuộc của BĐT Cauchy là:

\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)

Và: \((ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)\)

Do đó: \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\geq \frac{3abc(a+b+c)}{ab+bc+ac}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2).3abc(a+b+c)}{(ab+bc+ac)abc(a+b+c)}=\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

4 tháng 7 2018

xin lỗi là \(a^3+b^3+c^3\) nhé

AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 1 2018

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky với các số thực \(a,b,c\)

\(\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}\right)\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )\geq \left ( \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b} \right )^2\)

\(\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}\right)\left ( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right )\geq \left ( \frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b} \right )^2\)

Cộng hai vế trên thu được:

\(\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\right)\left(\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}\right)\geq \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)^2\)

Tiếp tục áp dụng Bunhiacopxky:

\([\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)^2](1+1)\geq \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)^2\)

Suy ra:

\(\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\right)\left(\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}\right)\geq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow \frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\right)\)

Ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)

NV
13 tháng 1 2024

Trước hết theo BĐT Schur bậc 3 ta có:

\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)+9abc\ge2\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3abc\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) (do \(a+b+c=3\)) (1)

Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P, ta có:

\(P=\dfrac{\left(a^2+abc\right)^2}{a^2b^2+2abc^2}+\dfrac{\left(b^2+abc\right)^2}{b^2c^2+2a^2bc}+\dfrac{\left(c^2+abc\right)^2}{a^2c^2+2ab^2c}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2+3abc\right)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)}=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2+3abc\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

Áp dụng (1):

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left[2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=4\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

13 tháng 1 2024

Anh giúp em câu này ạ, câu này hơi khó anh ạ, làm chắc cũng lâu, có gì anh để mai cũng được ạ! 

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-hinh-chop-sabcd-co-day-la-hinh-binh-hanh-m-va-p-la-hai-diem-lan-luot-di-dong-tren-ad-va-sc-sao-cho-mamd-pspc-x-x0-mat-phang-a-di-qua-m-va-song-song-voi-sab-cat-hinh-chop-sabcd-t.8753881358034

16 tháng 12 2017

Lời giải ở đây: https://hoc24.vn/hoi-dap/question/486195.html

19 tháng 11 2018

1) Áp dụng bđt Cauchy:

\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a^2b^2}}=\dfrac{2}{ab}\)

Xong