NT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 4 2018
Câu 1:
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(x^4+y^2\geq 2\sqrt{x^4y^2}=2x^2y\Rightarrow \frac{x}{x^4+y^2}\leq \frac{x}{2x^2y}=\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}(1)\)
\(x^2+y^4\geq 2\sqrt{x^2y^4}=2xy^2\Rightarrow \frac{y}{x^2+y^4}\leq \frac{y}{2xy^2}=\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}(2)\)
Lấy \((1)+(2)\Rightarrow A\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)
Vậy \(A_{\max}=1\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 4 2018
Câu 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1)^2\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{(x+y)^2}\geq \frac{4}{1}=4(*)\)
(do \(x+y\leq 1\) )
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{1}{4xy}+4xy\geq 2\sqrt{\frac{4xy}{4xy}}=2(**)\)
\(x+y\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow 1\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{5}{4xy}\geq \frac{5}{4.\frac{1}{4}}=5(***)\)
Cộng \((*)+(**)+(***)\Rightarrow B\geq 4+2+5=11\)
Vậy \(B_{\min}=11\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
LD
2
28 tháng 2 2018
Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương a,b ta có \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2.\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=>\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}\)
suy ra \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\).Áp dụng vào bài toán ta có :\(\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\ge\dfrac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\) (Do \(x+y\le1\))
TH
1
11 tháng 4 2017
\(\dfrac{x^2+y^2}{xy}=t;x,y>0\Rightarrow t\ge2\) khi x=y
\(A=t+\dfrac{1}{t}\ge2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}\)
\(A-\dfrac{5}{2}=\left(t-2\right)+\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{2}\right)=\left(t-2\right)-\dfrac{\left(t-2\right)}{2t}=\dfrac{\left(2t-1\right)\left(t-2\right)}{2t}\)
\(t\ge2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2t-1>0\\t-2\ge0\\2t>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{\left(2t-1\right)\left(t-2\right)}{2t}\ge0\) đẳng thức khi t=2
\(\Rightarrow A-\dfrac{5}{2}\ge0\Rightarrow A\ge\dfrac{5}{2}\)
Vậy GTNN (A) =5/2 khi x=y
7 tháng 12 2017
a,\(\frac{x^2+y^2-xy}{x^2-y^2}:\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2-2xy} =\frac{x^2+y^2-xy}{(x-y)(x+y)}\frac{(x+y)^2}{(x+y) (x^2-xy+y^2)}=\frac{1}{x-y} \)
b,\(\frac{x^3y+xy^3}{x^4y}:(x^2+y^2)=\frac{xy(x^2+y^2)}{x^4y(x^2+y^2)}=\frac{1}{x^3} \)
c,\(\frac{x^2-xy}{y}:\frac{x^2-xy}{xy+y}:\frac{x^2-1}{x^2+y} =\frac{x(x-y)y(x+y)(x^2+y)}{yx(x-y)(x^2-1)} =\frac{(x^2+y)(x+y)}{x^2-1} \)
d,\(\frac{x^2+y}{y}:(\frac{z}{x^2}:\frac{xy}{x^2y})=\frac{x^2+y}{ y}:(\frac{z}{x^2}\frac{x^2y}{xy})=\frac{x^2+y}{y}\frac{z}{x} \)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 8 2017
Bài 3:
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\) \(\geq 2.\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}=\frac{8}{(x+y)^2}=8\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{2xy}+\left (\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\geq \frac{1}{2xy}+\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}\)
\(=\frac{1}{2xy}+\frac{4}{(x+y)^2}\)
Theo BĐT AM-GM:
\(xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{2xy}\geq 2\)
Do đó \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\geq 2+4=6\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 8 2017
Bài 1: Thiếu đề.
Bài 2: Sai đề, thử với \(x=\frac{1}{6}\)
Bài 4 a) Sai đề với \(x<0\)
b) Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^4-x+\frac{1}{2}=\left (x^4+\frac{1}{4}\right)-x+\frac{1}{4}\geq x^2-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^2\geq 0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^4=\frac{1}{4}\\ x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (vô lý)
Do đó dấu bằng không xảy ra , nên \(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)
Bài 6: Áp dụng BĐT AM-GM cho $6$ số:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6\sqrt[6]{a^3b^3c^3d^3}=6\)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)
Lời giải:
Ta có:
\(A=\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{(x^2-2xy+y^2)+2xy}{x-y}\)
\(=\frac{(x-y)^2+2xy}{x-y}=\frac{(x-y)^2+2}{x-y}\) (do \(xy=1\) )
\(=x-y+\frac{2}{x-y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số \(x-y, \frac{2}{x-y}\) dương ta có:
\(A=(x-y)+\frac{2}{x-y}\geq 2\sqrt{(x-y).\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)
Vậy \(A_{\min}=2\sqrt{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x-y=\sqrt{2}\\ xy=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow (x,y)=\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)\)
em chưa học Cauchy chị ơi