K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

5 tháng 6 2022

C1:

\(x,y>0\)

\(M=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+2+\dfrac{1}{y^2}=\left(x^2+\dfrac{1}{16x^2}\right)+\left(y^2+\dfrac{1}{16y^2}\right)+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+4\)Theo BĐT AM-GM (Caushy) ta có:

\(M=\left(x^2+\dfrac{1}{16x^2}\right)+\left(y^2+\dfrac{1}{16y^2}\right)+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+4\ge2\sqrt{x^2.\dfrac{1}{16x^2}}+2\sqrt{y^2.\dfrac{1}{16y^2}}+\dfrac{15}{16}.2\sqrt{\dfrac{1}{x^2}.\dfrac{1}{y^2}}+4=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+4+\dfrac{15}{4}.\dfrac{1}{xy}\ge5+\dfrac{15}{4}.\dfrac{1}{\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2}\ge5+\dfrac{15}{4}.\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=20\)Đẳng thức xảy ra \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=\dfrac{1}{16}x^2\\y^2=\dfrac{1}{16}y^2\\x+y=1\\x,y>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(MinM=20\)

14 tháng 1 2021

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}\).

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

\(xy+1=xy+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{xy}{4^4}}\).

Tương tự: \(yz+1\ge5\sqrt[5]{\dfrac{yz}{4^4}};zx+1\ge5\sqrt[5]{\dfrac{zx}{4^4}}\).

Do đó \(\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)\ge125\sqrt[5]{\dfrac{\left(xyz\right)^2}{4^{12}}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}\ge125\sqrt[5]{\dfrac{1}{4^{12}\left(xyz\right)^3}}\).

Mà \(xyz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{27}=\dfrac{1}{8}\)

Nên \(\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}\ge125\sqrt[5]{\dfrac{8^3}{4^{12}}}=125\sqrt[5]{\dfrac{1}{2^{15}}}=\dfrac{125}{8}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}\).

Vậy...

 

 

 

17 tháng 1 2021

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

P≥33√(xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

xy+1=xy+14+14+14+14≥55√xy44.

Tương tự: yz+1≥55√yz44;zx+1≥55√zx44.

Do đó (xy+1)(yz+1)(zx+1)≥1255√(xyz)2412

⇒(xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz≥1255√1412(xyz)3.

Mà xyz≤(x+y+z)327=18

Nên  (xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz≥1255√83412=1255√1215=1258 

⇒P≥152.

11 tháng 5 2023

Ta có \(a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}=\dfrac{\left(a+b\right)^4}{8}\). Áp dụng cho biểu thức A, suy ra \(A\ge\dfrac{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2\right)^4}{8}\). Ta tìm GTNN của \(P=x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2\). Ta có 

\(P=x^2+\dfrac{1}{16x^2}+y^2+\dfrac{1}{16y^2}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+2\)

\(P\ge2\sqrt{x^2.\dfrac{1}{16x^2}}+2\sqrt{y^2.\dfrac{1}{16y^2}}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2}{2}\right)+2\)

    \(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{16}.\left(\dfrac{4^2}{2}\right)+2\) \(=\dfrac{21}{2}\). Do đó \(P\ge\dfrac{21}{2}\) \(\Leftrightarrow A\ge\dfrac{\left(\dfrac{17}{2}+2\right)^4}{8}\). Vậy GTNN của A là \(\dfrac{\left(\dfrac{17}{2}+2\right)^4}{8}\), ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

 

11 tháng 5 2023

Gợi ý: \(\dfrac{a^4+b^4}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^4\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 12 2023

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:
$M\geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}.\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{x^2y^2+1}{xy}}$
$=2\sqrt{xy+\frac{1}{xy}}$

Áp dụng BĐT AM-GM tiếp:

$1\geq x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}$
$xy+\frac{1}{xy}=(xy+\frac{1}{16xy})+\frac{15}{16xy}$

$\geq 2\sqrt{xy.\frac{1}{16xy}}+\frac{15}{16xy}$

$\geq 2\sqrt{\frac{1}{16}}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=\frac{17}{4}$

$\Rightarrow M\geq 2\sqrt{\frac{17}{4}}=\sqrt{17}$

Vậy $M_{\min}=\sqrt{17}$. Giá trị này đạt tại $x=y=\frac{1}{2}$

NV
27 tháng 12 2020

\(\dfrac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}\ge\dfrac{3\left(xy+x+y\right)}{xy+x+y}=3\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{8\left(x+y+1\right)^2}{9\left(xy+x+y\right)}+\dfrac{\left(x+y+1\right)^2}{9\left(xy+x+y\right)}+\dfrac{xy+x+y}{\left(x+y+1\right)^2}\)

\(A\ge\dfrac{8}{9}.3+2\sqrt{\dfrac{\left(x+y+1\right)^2\left(xy+x+y\right)}{\left(xy+x+y\right)\left(x+y+1\right)^2}}=\dfrac{10}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

28 tháng 12 2020

mk nghĩ nên đăt =t (t>=3). cho dễ làm

24 tháng 7 2017

có x+y=1 =>\(\left\{{}\begin{matrix}x-1=-y\\y-1=-x\end{matrix}\right.\)khí đó ta có biểu thức tương đương :

\(\dfrac{\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)}{x^2y^2}=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(y-1\right)\left(y+1\right)}{x^2y^2}=\dfrac{\left(-y\right)\left(x+1\right)\left(-x\right)\left(y+1\right)}{x^2y^2}=\dfrac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{xy}=\dfrac{xy+x+y+1}{xy}=1+\dfrac{2}{xy}\)mà 1=x+y và x+y\(\ge\)2\(\sqrt{xy}\)=> (x+y)2 \(\ge\)4xy do đó 1= (x+y)2 \(\ge\)4xy

=> \(\dfrac{1}{4xy}\ge\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}=>\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}=>\dfrac{2}{xy}\ge8\)=> biểu thức đã cho có GTNN là 9 khi x=y=\(\dfrac{1}{2}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 8 2021

Sao lúc thì $x,y,z$ lúc thì $a,b$ vậy bạn? Bạn coi lại đề.

31 tháng 5 2021

Áp dụng bđt : \(\dfrac{1}{a}\)\(\dfrac{1}{b}\) ≥ \(\dfrac{4}{a+b}\)(dấu "=" xảy ra ⇔ a=b)

⇒ P= \(\dfrac{1}{x+1}\)\(\dfrac{1}{y+2}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+1+y+2}\) = \(\dfrac{4}{3+3}\) = \(\dfrac{2}{3}\)

Vậy Pmin=\(\dfrac{3}{2}\) ; dấu '=" xảy ra ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=y+2\\x+y=3\end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)

 

 

31 tháng 5 2021

Không thỏa mãn điểm rơi kìa bạn