Question

[Pham Trong Bach]

Cho tích phân ∫ 2 3 1 x 3 + x 2 d x = a ln 3 + b ln 2  với a , b , c ∈ ℚ . Tính tổng S = a + b + c  

A.  S = - 2 3

B.  S = - 7 6

C.  S = 2 3

D.  S = 7 6

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án D.

Phân tích: 1 x 3 + x 2 = 1 x 2 x + 1 = A x + B x 2 + C x + 1 = A x ( x + 1 ) + B ( x + 1 ) + C x 2 x 2 ( x + 1 )  

→ 1 x 2 ( x 1 ) = A + C x 2 + A + B x + B x 2 x + 1 .

Đồng nhất hệ số, ta có hệ phương trình:

A + C = 0 A + B = 0 B = 1 ⇔ A = - 1 B = 1 C = 1 . Vậy 1 x 3 + x 2 = 1 x 2 ( x + 1 ) = - 1 x + 1 x 2 + 1 x + 1  

Lời giải chi tiết:

Ta có ∫ 2 3 1 x 3 + x 2 d x = ∫ 2 3 1 x 2 - 1 x + 1 x + 1 d x = ln x + 1 x - 1 x 2 3 = 3 ln 2 - 2 ln 3 + 1 6 .

Vậy a = - 2 , b = 3 , c = 1 6 → S = a + b + c = - 2 + 3 + 1 6 = 7 6 .