![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)
\(\Rightarrow\left(a^{100}+b^{100}\right)\left(a^{102}+b^{102}\right)=\left(a^{101}+b^{101}\right)^2\)
\(\Rightarrow a^{202}+b^{202}+a^{100}b^{102}+a^{102}b^{100}=a^{202}+b^{202}+2a^{101}b^{101}\)
\(\Rightarrow a^{100}b^{100}\left(a^2+b^2\right)=a^{100}b^{100}\left(2ab\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=2ab\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a=b\)
Thế vào \(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\)
\(\Rightarrow a^{100}+a^{100}=a^{101}+a^{101}\)
\(\Rightarrow2a^{100}\left(a-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a=1\Rightarrow b=1\)
\(\Rightarrow...\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
các số thực dương là các số > 0 ( kể cả phân số , số thập phân , số vô tỉ )
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giả sử trong 100 số nguyên dương đã cho không tồn tại 2 số nào bằng nhau
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a_1< a_2< a_3< ...< a_{100}\)
\(\Rightarrow a_1\ge1;a_2\ge2;a_3\ge3;....;a_{100}\ge100\Rightarrow\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a^2_3}...+\frac{1}{a^2_{100}}\le\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\left(1\right)\)
Lại có: \(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=\frac{199}{100}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a^2_2}+...+\frac{1}{a^2_{100}}< \frac{199}{100}\) trái với giả thiết
Vậy tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau trong 100 số a1,a2,...,a100
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt lần lượt x=a+b ; y=b+c; z=c+a
Thì ta có: a=\(\dfrac{x+z-y}{2}\);b=\(\dfrac{x+y-x}{2}\);c=\(\dfrac{y+z-x}{2}\)
Ráp vào BT ban đầu ta có:
\(\dfrac{z+x-y}{2y}\)+\(\dfrac{x+y-z}{2z}\)+\(\dfrac{y+z+x}{2x}\)=\(\dfrac{x+z-y}{\dfrac{2}{ }y}+\dfrac{x+y-z}{\dfrac{2}{z}}+\dfrac{y+z-x}{\dfrac{2}{x}}\)
Đến đây bạn đặt \(\dfrac{1}{2}\) chung ở vế trái sau đó chuyển vế là tính được nha
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\hept{\begin{cases}a+ab+b=3\\b+bc+c=8\\c+ca+a=15\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a+ab+b+1=4\\b+bc+c+1=9\\c+ca+a+1=16\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4\\\left(b+1\right)\left(c+1\right)=9\\\left(c+1\right)\left(a+1\right)=16\end{cases}}\) \(\left(1\right)\)
Nhân vế với vế \(\Rightarrow\left[\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\right]^2=\left(24^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=24\)\(\left(2\right)\)
Chia vế với vế của \(\left(2\right)\)cho lần lượt các pt của \(\left(1\right)\), ta được :
\(\hept{\begin{cases}a+1=\frac{8}{3}\\b+1=\frac{3}{2}\\c+1=6\end{cases}}\) \(\Rightarrow\) \(\hept{\begin{cases}a=\frac{5}{3}\\b=\frac{1}{2}\\c=5\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a+b+c=\frac{43}{6}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ab+bc+ca=414
=>2a+2b+2c=414
=>2(a+b+c)=414
=>a+b+c=207
Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
a/2=b/3=c/8=a+b+c/2+3+8=207/13=15,9
a/2=15,9=>a=31,8
b/3=15,9=>b=47,7
c/8=15,9=>c=127,2
Kết luận
Lời giải:
$a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}$
$\Rightarrow (a^{101}+b^{101})^2=(a^{100}+b^{100})(a^{102}+b^{102})$
$\Rightarrow a^{202}+b^{202}+2a^{101}.b^{101}=a^{202}+b^{202}+a^{100}b^{102}+a^{102}b^{100}$
$\Rightarrow 2a^{101}b^{101}=a^{100}b^{102}+a^{102}b^{100}$
$\Rightarrow a^{100}b^{100}(a^2+b^2-2ab)=0$
$\Rightarrow a^{100}b^{100}(a-b)^2=0$
$\Rightarrow a=0$ hoặc $b=0$ hoặc $a=b$
Nếu $a=0$ thì:
$b^{100}=b^{101}=b^{102}$
$\Rightarrow b^{100}(b-1)=0$
$\Rightarrow b=0$ hoặc b=1$ (đều tm)
$\Rightarrow a^{2022}+b^{2023}=0$ hoặc $1$
Nếu $b=0$ thì tương tự, $a=0$ hoặc $a=1$
$\Rightarrow a^{2022}+b^{2023}=0$ hoặc $1$
Nếu $a=b$ thì thay $a=b$ vào điều kiện đề thì:
$2b^{100}=2b^{101}=2b^{102}$
$\Rightarrow b^{100}=b^{101}=b^{102}$
$\Rightarrow b^{100}(b-1)=0$
$\Rightarrow b=0$ hoặc $b=1$ (đều tm)
Nếu $a=b=0\Rightarrow a^{2022}+b^{2023}=0$
Nếu $a=b=1\Rightarrow a^{2022}+b^{2023}=2$
Vậy $a^{2022}+b^{2023}$ có thể nhận giá trị $0,1,2$
=2 nha