Question

[Nguyễn Thị Tuyến]

Cho sáu số a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , a₅ , a₆ . Thỏa mãn a₂² = a₁a₃ ; a₃² = a₂a₄ ; a₄² = a₃a₅ ; a₅² = a₄a₆ . Chứng minh rằng : a₁ ( a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ )⁵ = a₆ ( a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ )⁵.

Answer 1

[❤️ ❤️]

Theo đề ta có :

* \(a_2^2=a_1.a_3\) \(\Rightarrow\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{a_2}{a_3}\) (1)

* \(a_3^2=a_2.a_4\Rightarrow\dfrac{a_2}{a_3}=\dfrac{a_3}{a_4}\left(2\right)\)

* \(a_4^2=a_3.a_5\Rightarrow\dfrac{a_3}{a_4}=\dfrac{a_4}{a_5}\left(3\right)\)

* \(a^2_5=a_4.a_6\Rightarrow\dfrac{a_4}{a_5}=\dfrac{a_5}{a_6}\left(4\right)\)

Từ (1) ; (2) ; (3) và (4) nên ta có :

\(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{a_2}{a_3}=\dfrac{a_3}{a_4}=\dfrac{a_4}{a_5}=\dfrac{a_5}{a_6}\)

\(=\dfrac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{a_2+a_3+a_4+a_5+a_6}\) (5)

\(=\dfrac{a_1.a_2.a_3.a_4.a_5}{a_2.a_3.a_4.a_5.a_6}=\dfrac{a_1}{a_6}\) (6)

Từ (5) và (6) , ta có :

\(\dfrac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{a_2+a_3+a_4+a_5+a_6}=\dfrac{a_1}{a_6}\)

Áp dụng 2 phân số bằng nhau , ta có :

\(\left(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\right)a_6=\left(a_2+a_3+a_4+a_5+a_6\right)a_1\)

\(\left(đpcm\right)\)

Answer 2

[Nguyễn Thị Tuyến]

cảm ơn bạn nhiều