NT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
ML
8 tháng 8 2016
B2: \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=4\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=2\\a+b+c=-2\end{cases}}\)
TH1: \(a+b+c=2\Rightarrow c=2-\left(a+b\right)\)
\(a^2+b^2+c^2=2\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\left(2-a-b\right)^2=2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+ab-2\left(a+b\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(b-2\right)a+b^2-2b+1=0\)
Xem đây là một phương trình bậc hai ẩn a, tham số b.
Để tồn tại a thỏa phương trình trên thì \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-2\right)^2-4\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow b\left(3b-4\right)\le0\)\(\Leftrightarrow0\le b\le\frac{4}{3}\)
Do vai trò của a, b, c là như nhau nên \(0\le a,b,c\le\frac{4}{3}\)
(hoặc đổi biến thành b và tham số a --> CM được a, rồi thay \(b=2-c-a\) sẽ chứng minh được c)
TH2: \(a+b+c=-2\) --> tương tự trường hợp 1 nhưng kết quả sẽ là
\(-\frac{4}{3}\le a,b,c\le0\)
Kết hợp 2 trường hợp lại, ta có đpcm.
2 tháng 9 2017
đặt \(\sqrt{\frac{ab}{c}}=x;\sqrt{\frac{bc}{a}}=y;\sqrt{\frac{ca}{b}}=z\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
\(P=\frac{ab}{ab+c}+\frac{bc}{bc+a}+\frac{ca}{ca+b}\)
\(=\frac{\frac{ab}{c}}{\frac{ab}{c}+1}+\frac{\frac{bc}{a}}{\frac{bc}{a}+1}+\frac{\frac{ca}{b}}{\frac{ca}{b}+1}=\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}+\frac{z^2}{z^2+1}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{3}{4}\left(Q.E.D\right)\)
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
KK
23 tháng 3 2017
\(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)
\(\Leftrightarrow a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}+b-\dfrac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}+c-\dfrac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-\left[\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\right]\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+ab+b^2\ge3\sqrt[3]{a^3b^3}=3ab\\b^2+bc+c^2\ge3\sqrt[3]{b^3c^3}=3bc\\c^2+ca+a^2\ge3\sqrt[3]{c^3a^3}=3ca\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\le\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3ab}=\dfrac{a+b}{3}\\\dfrac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}\le\dfrac{bc\left(b+c\right)}{3bc}=\dfrac{b+c}{3}\\\dfrac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\le\dfrac{ca\left(c+a\right)}{3ca}=\dfrac{c+a}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\le\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-\left[\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\right]\ge a+b+c-\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-\left[\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\right]\ge\dfrac{a+b+c}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\dfrac{a+b+c}{3}\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
5 tháng 9 2016
đề sai á? tg ns lăng nhăng lên đây thử xem có ai giải k thôi
\(P=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-\dfrac{5}{ab+bc+ca}=\dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{bc}+\dfrac{c^2}{ca}-\dfrac{5}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-5}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{4.3}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{12}{3^2}=\dfrac{4}{3}\left(đpcm\right)\)
\(dấu"="\Leftrightarrow a=b=c=1\)