Question

[Yoriichi Tsugikuni]

Cho △ABC có AB = AC, gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng △ABI = △ACI.

b) Chứng minh rằng AI ⊥ BC.

c) Trên tia đối của tia IA lấy điểm D sao cho IA = ID. Chứng minh rằng AB = CD và AB // CD.

d) Trên một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC không chứa điểm A, kẻ đường thẳng BE ⊥ BC sao cho BE = AI. Gọi O là trung điểm của BI. Chứng minh rằng 3 điểm A; O; E thẳng hàng.

e) Chứng minh ED // BC.

f) Biết góc BEI = 40^o. Tính số đo các góc của △ABC.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔABI và ΔACI có

AB=AC

BI=CI

AI chung

Do đó: ΔABI=ΔACI

b: Ta có; ΔABI=ΔACI

=>\(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\)

mà \(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

=>AI\(\perp\)BC

c: Xét ΔIAB vuông tại I và ΔIDC vuông tại I có

IA=ID

IB=IC

Do đó: ΔIAB=ΔIDC

=>AB=DC

Ta có: ΔIAB=ΔIDC

=>\(\widehat{IAB}=\widehat{IDC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên BA//CD

d: Ta có: BE\(\perp\)BC

AI\(\perp\)BC

Do đó: BE//AI

Xét tứ giác ABEI có

AI//BE

AI=BE

Do đó: ABEI là hình bình hành

=>AE cắt BI tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của BI

nên O là trung điểm của AE

=>A,O,E thẳng hàng

e: Ta có: AI=BE

AI=ID

Do đó: BE=ID

Ta có: AI//BE

I\(\in\)AD

Do đó: DI=BE

Xét tứ giác BIDE có

ID//BE

ID=BE

Do đó: BIDE là hình bình hành

=>ED//BI

=>ED//BC

f: ABEI là hình bình hành

=>\(\widehat{BEI}=\widehat{BAI}\)

mà \(\widehat{BEI}=40^0\)

nên \(\widehat{BAI}=40^0\)

Ta có: ΔABI=ΔACI

=>\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)

mà tia AI nằm giữa hai tia AB,AC

nên AI là phân giác của góc BAC

=>\(\widehat{BAC}=2\cdot\widehat{BAI}=80^0\)

Ta có: ΔABC cân tại A

=>\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)

=>\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^0-80^0}{2}=50^0\)