HS
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
21 tháng 7 2020
\(M\le\frac{1}{4}\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{b^2+c^2+c^2+a^2}\le\frac{1}{4}\Sigma\left(\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{c^2+a^2}\right)=\frac{3}{4}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 8 2021
a. Đề bài sai (thực chất là nó đúng 1 cách hiển nhiên nhưng "dạng" thế này nó sai sai vì ko ai cho kiểu này cả)
Ta có: \(abc=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\ge27\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+5abc\ge a^2+b^2+c^2+5.27>>>>>8\)
b.
\(4=ab+bc+ca+abc=ab+bc+ca+\sqrt{ab.bc.ca}\le ab+bc+ca+\sqrt{\left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^3}\)
\(\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}=t\Rightarrow t^3+3t^2-4\ge0\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t+2\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow t\ge1\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge3\)
- TH1: nếu \(a+b+c\ge4\)
Ta có: \(ab+bc+ca=4-abc\le4\)
\(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+5abc\ge4^2-2.4+0=8\)
(Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;0\right)\) và các hoán vị)
- TH2: nếu \(3\le a+b+c< 4\)
Đặt \(a+b+c=p\ge3;ab+bc+ca=q;abc=r\)
\(P=p^2-2q+5r=p^2-2q+5\left(4-q\right)=p^2-7q+20\)
Áp dụng BĐT Schur:
\(4=q+r\ge q+\dfrac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\Leftrightarrow q\le\dfrac{p^3+36}{4p+9}\)
\(\Rightarrow P\ge p^2-\dfrac{7\left(p^3+36\right)}{4p+9}+20=\dfrac{3\left(4-p\right)\left(p-3\right)\left(p+4\right)}{4p+9}+8\ge8\)
(Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\))
1. Cho a,b,c thực dương thỏa mãn: abc=1
N
8 tháng 7 2020
\(b^4+c^4-bc\left(b^2+c^2\right)=\left(b^2+bc+c^2\right)\left(b-c\right)^2\)
\(\Rightarrow b^4+c^4\ge bc\left(b^2+c^2\right)\)
Tương tự\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a}{a+b^4+c^4}\le\Sigma_{cyc}\frac{a}{a+bc\left(b^2+c^2\right)}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{bc\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\Sigma_{cyc}\frac{a}{bc}\)
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)=1\)
oke rồi he
8 tháng 7 2020
@Nub :v
Áp dụng Bunhiacopski ta dễ có:
\(\frac{a}{b^4+c^4+a}=\frac{a\left(1+1+a^3\right)}{\left(b^4+c^4+a\right)\left(1+1+a^3\right)}\le\frac{a^4+2a}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)
Tương tự:
\(\frac{b}{a^4+c^4+b}\le\frac{b^4+2b}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2};\frac{c}{a^4+b^4+c}\le\frac{c^4+2c}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)
Cộng lại:
\(A\le\frac{a^4+b^4+c^4+2a+2b+2c}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)
Ta đi chứng minh:
\(\frac{a^4+b^4+c^4+2a+2b+2c}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\le1\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Cái này luôn đúng theo Cauchy
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1
28 tháng 2 2022
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{\sqrt{c-2}}{c}+\dfrac{\sqrt{a-3}}{a}+\dfrac{\sqrt{b-4}}{b}\)
\(=\dfrac{\sqrt{3\left(a-3\right)}}{a\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{4\left(b-4\right)}}{2b}+\dfrac{\sqrt{2\left(c-2\right)}}{c\sqrt{2}}\le\dfrac{\dfrac{3+a-3}{2}}{a\sqrt{3}}+\dfrac{\dfrac{4+b-4}{2}}{2b}+\dfrac{\dfrac{2+c-2}{2}}{c\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(dấu"="xảy\) \(ra\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3=a-3\\4=b-4\\2=c-2\\\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=8\\c=4\end{matrix}\right.\)
8 tháng 7 2020
Áp dụng AM - GM
\(P=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+a^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{2ab}}+\frac{1}{\sqrt{2bc}}+\frac{1}{\sqrt{2ca}}\)
\(abc=a+b+c+2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)+\left(b+1\right)\left(c+1\right)+\left(c+1\right)\left(a+1\right)\ge\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1\)
Với mọi số thực x,y,z ta có ngay:
\(\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+\frac{y+z}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z+x}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x+y}{z}}=1\)
Khi đó ta có thể đặt được \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{y+z}{x};\frac{z+x}{y};\frac{x+y}{z}\right)\)
Thay vào thì dễ có:
\(\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(z+y\right)\left(x+y\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2}\Sigma\left(\frac{x}{x+z}+\frac{z}{x+z}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy ...........................
K
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 2 2021
\(P=a+\sqrt{\dfrac{a}{2}.2b}+\sqrt[3]{\dfrac{a}{4}.b.4c}\)
\(P\le a+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{2}+2b\right)+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a}{4}+b+4c\right)\)
\(P\le\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)=\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{16}{21};\dfrac{4}{21};\dfrac{1}{21}\right)\)
VH
14 tháng 1 2020
Từ giả thiết ta có: \(1=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le\frac{1}{27}\)
Áp dụng BĐT AM - GM:
\(P=\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{\frac{4}{3}.a\left(a+bc\right)}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{\frac{4}{3}.b\left(b+ca\right)}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{\frac{4}{3}.c\left(c+ab\right)}+9\sqrt{abc}\)\(\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\left(\frac{\frac{7}{3}a+bc+\frac{7}{3}b+ca+\frac{7}{3}c+ab}{2}\right)+9\sqrt{abc}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}.\left[\frac{\frac{7}{3}\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca}{2}\right]+9\sqrt{abc}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}.\left(\frac{7}{6}+\frac{ab+bc+ca}{2}\right)+9\sqrt{abc}\)
Áp dụng BĐT quen thuộc \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Khi đó: \(P\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\left(\frac{7}{6}+\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)+9\sqrt{\frac{1}{27}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow min_P=\frac{5\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
22 tháng 7 2018
Từ giả thiết \(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=1\Rightarrow xy+yz+xz=1\left(x=\dfrac{1}{a};y=\dfrac{1}{b};z=\dfrac{1}{c}\right)\)
\(A=\sum\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}=\sum\dfrac{\dfrac{1}{a}}{\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+1}}=\sum\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\sum\dfrac{x}{\sqrt{x^2+xy+yz+xz}}=\sum\dfrac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{1}{2}\sum\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}=\dfrac{3}{2}\)