N
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
11 tháng 9 2016
Ta có a4 + b4 - a3 b - ab3 = (a - b)(a3 - b3)
= (a -b)2 (a2 + ab + b2)
= (a - b)2 [\(\frac{3b^2}{4}+\left(a+\frac{b}{2}\right)^2\)]\(\ge0\)
Ta lại có a4 + b4 \(\ge2a^2b^2\)
Từ đó => 2(a4 + b4) \(\ge\)ab3 + a3 b + 2 a2 b2
11 tháng 10 2020
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)\cdot\left(a^{ }^2+b^2\right)\ge2ab\cdot\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=ab\cdot\left(a+b\right)^2=ab^3+2a^2b^2+a^3b\)
EC
1
N
30 tháng 1 2019
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\)\(\ge4a^2b^2\)(BĐT Cô-si)
Có: \(ab^3+a^3b=ab\left(a^2+b^2\right)\)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
\(ab\left(a^2+b^2\right)\ge2a^2b^2\)
\(\Rightarrow ab^3+a^3b+2a^2b^2\ge4a^2b^2\)
Vậy VT=VP.
Ta có đpcm.
10 tháng 3 2018
a^4 +b^4 >= ab^3 +a^3 b (1)
<=> 4a^4 +4b^4 - 4ab(a^2 +b^2) >= 0
<=> [(a^2 +b^2 )^2 - 4ab(a^2 +a^2) +4a^2 b^2 ] +3a^4 +3b^4 -6a^2 b^2 >=0
<=> (a -b )^4 +3(a^4 + b^4 -2a^2 b^2 ) >= 0 (2)
cos (a-b )^4 >= 0
a^4 + b^4 >= 2a^2 b^2 (co si có thể không cần co si cũng được )
=> (2) đúng => (1) đúng => dpcm
b) a^2 +b^2 +1 >= ab +a+b (1)
<=>2a^2 +2b^2 +2 -2ab -2a-2b >=0
<=>[a^2 +b^2 -2ab ] +[a^2 -2a +1] +[b^2 -2b +1 ] >=0
<=>(a -b)^2 +(a-1)^2 + (b-1)^2 >=0 (2)
(2) đúng (1) đúng => dpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 8 2020
Từ kết quả bài toán suy ngược ra thôi
Muốn giải thích thì cứ phá 2 vế ra rồi so sánh là tìm ra cách tách biểu thức
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 8 2020
Câu 4 mình ko biết giải quyết kiểu lớp 9 (mặc dù chắc chắn là biểu thức sẽ được biến đổi như vầy)
Đó là kiểu trình bày của lớp 11 hoặc 12 để bạn tham khảo thôi
T
11 tháng 11 2019
2/ Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\).
Nếu abc = 0 thì có ít nhất một số bằng 0. Giả sử c = 0. BĐT quy về: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b; c = 0.
Nếu \(abc\ne0\). Chia hai vế của BĐT cho \(\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)
BĐT quy về: \(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^4}{b^2c^2}}+3\ge2\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{ab}{c^2}}\)
Đặt \(\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x;\sqrt[3]{\frac{b^2}{ca}}=y;\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}=z\Rightarrow xyz=1\)
Cần chúng minh: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)\) (1)
Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số x - 1, y - 1, z - 1 tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow2xyz\ge2xz+2yz-2z\). Thay vào (1):
\(VT\ge x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1\)
\(=\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2+2xy+2xz+2yz\)
\(\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Vậy (1) đúng. BĐT đã được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị.
Check giúp em vs @Nguyễn Việt Lâm, bài dài quá:(
T
6 tháng 7 2020
Để đưa về chứng minh $(1)$ và $(2)$ ta dùng:
Định lí SOS: Nếu \(X+Y+Z=0\) thì \(AX^2+BY^2+CZ^2\ge0\)
khi \(\left\{{}\begin{matrix}A+B+C\ge0\\AB+BC+CA\ge0\end{matrix}\right.\)
Chứng minh: Vì \(\sum\left(A+C\right)=2\left(A+B+C\right)\ge0\)
Nên ta có thể giả sử \(A+C\ge0\). Mà $X+Y+Z=0$ nên$:$
\(AX^2+BY^2+CZ^2=AX^2+BY^2+C\left[-\left(X+Y\right)\right]^2\)
\(={\frac { \left( AX+CX+CY \right) ^{2}}{A+C}}+{\frac {{Y}^{2} \left( AB+AC+BC \right) }{A+C}} \geq 0\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 2 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}=\frac{a^3}{2b+3c}+\frac{b^3}{2c+3a}+\frac{c^3}{2a+3b}=\frac{a^4}{2ab+3ac}+\frac{b^4}{2bc+3ba}+\frac{c^4}{2ac+3bc}\)
\(\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2ab+3ac+2bc+3ba+2ac+3bc}=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{5(ab+bc+ac)}\)
Theo hệ quả của BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ac)}{5(ab+bc+ac)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{5}\)
Ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
TL
29 tháng 9 2018
Trả lời:
a. Áp dụng BĐT Cô-si: x + y\(\ge\) \(2\sqrt{xy}\) (với x,y\(\ge\)0)
Ta có: a + b\(\ge\)\(2\sqrt{ab}\)
b+c\(\ge\)\(2\sqrt{bc}\)
c+a\(\ge\)\(2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\) (a+b)(b+c)(c+a) \(\ge\)\(8\sqrt{a^2b^2c^2}\)= 8abc (đpcm)
b. Áp dụng BĐT Cô-si: \(\sqrt{ab}\)\(\le\)\(\dfrac{a+b}{2}\) ( với a,b\(\ge\)0)
Ta có: \(\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\)\(\le\)\(\dfrac{3a+a+2b}{2}\)=\(\dfrac{4a+2b}{2}\)=2a+b
\(\Rightarrow\) \(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\)\(\le\)a(2a+b) = 2a2+ab
CMTT: \(b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\)\(\le\)b(2b+a) = 2b2+ab
\(\rightarrow\)\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\)+\(b\sqrt{3b\left(2b+a\right)}\)\(\le\) 2a2+ab+2b2+ab
= 2(a2+b2)+2ab =6(đpcm)
c. Áp dụng BĐT Cô-si với 3 số a+b; b+c;c+a
Ta có: (a+b)(b+c)(c+a)\(\le\)\(\left(\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{3}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\) 1 \(\le\) \(\dfrac{8}{27}\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\) (a+b+c)3 \(\ge\) \(\dfrac{8}{27}\)
\(\Leftrightarrow\) a+b+c \(\ge\) \(\dfrac{3}{2}\) (1)
Lại có: (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) -abc
\(\Leftrightarrow\) 1= (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc
\(\Leftrightarrow\) ab+bc+ca = \(\dfrac{1+abc}{a+b+c}\) (2)
Theo câu a. (a+b)(b+c)(c+a) \(\ge\) 8abc
\(\Leftrightarrow\) 1 \(\ge\) 8abc
\(\Leftrightarrow\) abc \(\le\)\(\dfrac{1}{8}\) (3)
Từ (1),(3) kết hợp với (2)
\(\Rightarrow\) ab+bc+ca \(\le\) \(\dfrac{1+\dfrac{1}{8}}{\dfrac{3}{2}}\) = \(\dfrac{3}{4}\) (đpcm)
13 tháng 7 2020
Có: a + b = ab \(\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
=> a + b \(\ge4\)
\(\frac{1}{a^2+2a}+\frac{1}{b^2+2b}+\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2\left(a+b\right)}+\sqrt{\left(1+ab\right)^2}\)
\(=\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\left(1+a+b\right)=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\left(a+b\right)+1\)
\(=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{a+b}{4^2}+\frac{a+b}{4^2}+\frac{7}{8}\left(a+b\right)+1\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{4}{\left(a+b\right)^2}.\frac{a+b}{4^2}.\frac{a+b}{4^2}}+\frac{7}{8}.4+1=\frac{3}{4}+\frac{7}{2}+1\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 2
Giả sử \(2\left(a^4+b^4\right)\ge a^3b+ab^3+2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4-a^3b-ab^3-2a^2b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)-\left(ab^3-b^4\right)+\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)+\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)+\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2-ab+b^2\right)+\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\) \(\forall a;b\) \(\left(1\right)\)
Lại có: \(a^2-ab+b^2=\left(a^2-2.a.\frac{b}{2}+\frac{b^2}{4}\right)+\frac{3b^2}{4}\)
\(=\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\ge0\) \(\forall a;b\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left(a-b\right)^2\left(a^2-ab+b^2\right)+\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\forall a;b\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge a^3b+ab^3+2a^2b^2\forall a;b\)
Vậy \(2\left(a^4+b^4\right)\ge a^3b+ab^3+2a^2b^2\) với mọi a;b