Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\frac{4ab}{a^2-b^2}=\frac{4.\frac{a}{b}}{\left(\frac{a}{b}\right)^2-1}\Leftrightarrow A\left(\frac{a}{b}\right)^2-4\frac{a}{b}-A=0\Leftrightarrow At^2-4t+\frac{4}{A}=A+\frac{4}{A}\)
\(t=\frac{2}{A^2}+-\sqrt{\frac{A^2+4}{A^3}}\)
\(B=\frac{4a^4b^4}{a^8-b^8}=\frac{4t^4}{t^8-1}=..\)
a/
\(VT\ge\frac{\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2}{a+b}+\frac{\frac{1}{2}\left(b+c\right)^2}{b+c}+\frac{\frac{1}{2}\left(c+a\right)^2}{c+a}=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
b/ Ta có: \(x^4+y^4\ge\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\left(y^2+y^2\right)\ge xy\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{a+bc\left(b^2+c^2\right)}+\frac{1}{b+ca\left(a^2+c^2\right)}+\frac{1}{c+ab\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT\le\frac{1}{a+\frac{1}{a}\left(b^2+c^2\right)}+\frac{1}{b+\frac{1}{b}\left(a^2+c^2\right)}+\frac{1}{c+\frac{1}{c}\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT\le\frac{a}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2}\)
\(VT\le\frac{a+b+c}{\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{a+b+c}\le\frac{3}{3\sqrt[3]{abc}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Ta có: (ÁP DỤNG BĐT CAUCHY SẼ ĐƯỢC):
\(a^4+b^2\ge2\sqrt{a^4b^2}=2a^2b\)
Và: \(b^4+a^2\ge2\sqrt{a^2b^4}=2ab^2\)
=> \(VT\le\frac{a}{2a^2b}+\frac{b}{2ab^2}\)
=> \(VT\le\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\)
=> \(VT\le\frac{2}{2ab}=\frac{1}{ab}\)
=> VẬY TA CÓ ĐPCM.
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\frac{a+b}{2}=\frac{(a+b)(1+1)}{4}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4}\)
Mà: \(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4}=\frac{[(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})]^2}{4(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}=\frac{(a-b)^2}{4(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}\)
Do đó: \(\frac{a+b}{2}\geq \frac{(a-b)^2}{4(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{\sqrt{a}}{1}=\frac{\sqrt{b}}{1}\Leftrightarrow a=b\) (sai vì $a\neq b$). Do đó dấu "=" không xảy ra, hay \(\frac{a+b}{2}> \frac{(a-b)^2}{4(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}\)
Mặt khác:
\(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4}=\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\geq \frac{2\sqrt{ab}+2\sqrt{ab}}{4}=\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{4(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}\geq \sqrt{ab}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\) (sai do $a\neq b$). Do đó dấu "=" không xảy ra, hay \( \frac{(a-b)^2}{4(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}> \sqrt{ab}\)
Ta có đpcm.
Ngọc Anh Dũngo0oNguyễno0oHuy hoàng indonaca0o0 khùng mà 0o0Tình bạn vĩnh cửu Phương DungHacker Mũ Trắng