Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do vai trò của a;b;c là hoàn toàn như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc\ge b^2+ac\Leftrightarrow\frac{a}{c}+1\ge\frac{b}{c}+\frac{a}{b}\) (chia 2 vế cho bc)
Tương tự: \(\frac{c}{a}+1\ge\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\) (chia 2 vế cho ab)
Cộng vế với vế: \(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+2\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\)
\(\Rightarrow VT\le2\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+2\)
Nên ta chỉ cần chứng minh: \(2\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+2\le7\Leftrightarrow\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\le\frac{5}{2}\)
Do \(1\le c\le a\le2\Rightarrow1\le\frac{a}{c}\le2\)
Đặt \(\frac{a}{c}=x\Rightarrow1\le x\le2\)
Ta cần chứng minh: \(x+\frac{1}{x}\le\frac{5}{2}\Leftrightarrow2x^2-5x+2\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(x-2\right)\le0\) (luôn đúng với \(x\in\left[1;2\right]\))
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;1\right);\left(2;1;1\right)\) và hoán vị
Mình xài p,q,r nhé :))
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r=1-3q+3r\)
\(a^4+b^4+c^4=1-4q+2q^2+4r\)
Khi đó BĐT tương đương với:
\(\frac{1}{8}+2q^2+4r-4q+1\ge1-3q+3r\)
\(\Leftrightarrow2q^2-q+\frac{1}{8}+r\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(q-\frac{1}{4}\right)+r\ge0\) ( đúng )
\(a^4+b^4+c^4+\frac{1}{8}\left(a+b+c\right)^4\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)\)
Khúc đầu có gì đâu nhỉ: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(=p^3-3\left[\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\right]\)
\(=p^3-3pq+3r\)
--------------------------------------
\(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(=\left[\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2-2\left[\left(ab+bc+ca\right)^2-2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
\(=\left(p^2-2q\right)^2-2\left(q^2-2pr\right)\)
\(=p^4-4p^2q+2q^2+4pr\)
Xem thêm các đẳng thức thông dụng tại: https://bit.ly/3hllKCq
câu a,mình ko biết nhưng câu b bạn cộng 1+b cho số hạng đầu áp dụng cô si,các số hạng khác tương tự rồi cộng vế theo vế,ta có điều phải c/m
Áp dụng BĐT AM-GM: \(1+b^2\ge2b\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được: \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Mà \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Nên \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=3-\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)(đpcm).
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1.
Ta có; \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+b}.\frac{a+b}{4}}=a\)
Tương tự : \(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge b\)
\(\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge c\)
Cộng từng vế ta có:
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\)
à bạn ơi xem lại đề giúp mình nha! mình thấy sai sai ý đây để mình chỉ cho bạn cái sai:
vì a,b,c>=1 nên a,b,c.>0
a/b+b/a>=2(bdt 2 phân số đảo ngược của lớp 6)
tương tự:b/c+c/b>=2,c/a+a/c>=2
cộng các vế trên ta có:a/b+b/a+b/c+c/b+c/a+a/c>=8
suy ra điều cm trên là vô lí