Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
- có : \(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)^2=1\\\left(a-b\right)^2\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+2ab+b^2=1\\a^2-2ab+b^2\ge0\end{cases}\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}}\) nên : \(P=a^2+b^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{2}+\frac{4}{a+b}=\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}\)\(P_{min}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Bài 1: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Lại có BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}=4\left(a+b=1\right)\)
Cộng theo vế 2 BĐT trên có:
\(P=a^2+b^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Bài 2: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT^2=\left(x-1\right)+\left(3-x\right)+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)
\(=2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)
\(\le2+\left(x-1\right)+\left(3-x\right)=4\)
\(\Rightarrow VT^2\le4\Rightarrow VT\le2\left(1\right)\). Lại có:
\(VP=x^2-4x+4+2=\left(x-2\right)^2+2\ge2\left(2\right)\)
Từ (1);(2) xảy ra khi
\(VT=VP=2\Rightarrow\left(x-2\right)^2+2=2\Rightarrow\left(x-2\right)^2=0\Rightarrow x=2\) (thỏa)
Vậy x=2 là nghiệm của pt
Từ điều kiện �2+�2=2a2+b2=2, ta có (�+�)2−2��=2⇒��=12(�+�)2−1(a+b)2−2ab=2⇒ab=21(a+b)2−1.
Đặt �=�+�x=a+b.
Khi đó �=3�+12�2−1=12(�+3)2−112P=3x+21x2−1=21(x+3)2−211.
Ta có (�+�)2≤2(�2+�2)⇒�2≤4⇒−2≤�≤2(a+b)2≤2(a2+b2)⇒x2≤4⇒−2≤x≤2.
Do đó �+3≥1⇒(�+3)2≥1⇒�≥−5x+3≥1⇒(x+3)2≥1⇒P≥−5.
Dấu bằng xảy ra khi �=�=−1a=b=−1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của �P là −5−5.
- \(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=\left(a+b+c\right)^2-6.\)
- \(P=\left(a+b+c\right)^2-6-6\left(a+b+c\right)+2017=\left(a+b+c\right)^2-6\left(a+b+c\right)+9+2002\)
\(=\left(a+b+c-3\right)^2+2002\)
- Mà \(\left(a+b+c-3\right)^2\ge0\)nên GTNN của P bằng 2002.
Từ giả thiết \(1\le a\le2\) => ( a - 1).(a - 2) \(\le\) 0 =>\(a^2-3a+2\le0\)
Từ giả thiết \(1\le b\le2\) => (b - 1)( b - 2) \(\le\) 0 => \(a^2-3b+2\le0\)
Vì vậy ta có P:
\(=\left[a^2+b^2-3\left(a+b\right)+4\right]-\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{b}}{2}-\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^2-3\le-3\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}=\dfrac{1}{\sqrt{q}}\\\dfrac{\sqrt{b}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{b}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right.\)
Vậy a =1 ; b = 2 là giá trị lớn nhất của biểu thức
ab>=6 và b>= 3 nha
P=a+b+2016
các bạn giúp mk ik
cám ơn rất nhiều