Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(2^x=x^2\Rightarrow xln2=2lnx\Rightarrow\frac{ln2}{2}=\frac{lnx}{x}\Rightarrow x=2\)
Ta cũng có \(\frac{2ln2}{2.2}=\frac{lnx}{x}\Rightarrow\frac{ln4}{4}=\frac{lnx}{x}\Rightarrow x=4\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=4\end{matrix}\right.\)
Pt dưới: \(4logx-\frac{logx}{loge}=log4\)
\(\Leftrightarrow logx\left(4-ln10\right)=log4\Leftrightarrow logx\left(ln\left(\frac{e^4}{10}\right)\right)=log4\)
\(\Rightarrow logx=\frac{log4}{ln\left(\frac{e^4}{10}\right)}=log4.log_{\frac{e^4}{10}}e\)
\(\Rightarrow x=10^{log4.log_{\frac{e^4}{10}}e}=\left(10^{log4}\right)^{log_{\frac{e^4}{10}}e}=2^{2.log_{\frac{e^4}{10}}e}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=2\\d=4\end{matrix}\right.\)
Bạn tự thay kết quả và tính
Câu 1: Là \(ln^2x+lnx\) hay \(lnx^2+lnx\) bạn, hai cái này khác nhau lắm, viết thế kia chẳng hiểu gì cả. Biểu thức logarit nếu viết mũ, thì hoặc là viết thế này \(ln^2x\) hoặc là \(\left(lnx\right)^2\), nếu viết \(ln\left(x\right)^2\) người ta sẽ mặc định hiểu là \(ln\left(x^2\right)\)
Chắc là cái đầu, vậy ta biến đổi được:
\(lnx\left(lnx+1\right)=lnx\left(lnx+lne\right)=lnx.ln\left(x.e\right)=ln\left(x.e\right)^{lnx}\)
Câu 2: đạo hàm 4 cái ra, dễ dàng nhận ra ở đáp án d, với \(x\ge0\Rightarrow f'\left(x\right)=3x^2+4x+\frac{1}{2\sqrt{x}}>0\) luôn đồng biến nên hàm không có cực trị
Câu 3:
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\frac{m-x}{x+1}=2x+m\Leftrightarrow m-x=2x^2+\left(m+2\right)x+m\)
\(\Leftrightarrow2x^2+\left(m+3\right)x=0\)
Phương trình luôn có nghiệm \(x=0\) hay ít nhất 1 trong 2 điểm A; B sẽ trùng gốc tọa độ tức \(OA=0\) hoặc \(OB=0\)
Do đó ko tồn tại m thỏa mãn
Câu 4:
\(\left\{{}\begin{matrix}lnx=X\\lny=Y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2X^2+3Y^2=5\\X+4Y=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(3-4Y\right)^2+3Y^2=5\)
\(\Leftrightarrow35Y^2-48Y+13=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}Y=1\Rightarrow X=-1\\Y=\frac{13}{35}\Rightarrow X=\frac{53}{35}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}lnx=-1\\lny=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(e^{-1};e\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=-1\\d=1\end{matrix}\right.\)
Hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}lnx=\frac{53}{35}\\lny=\frac{13}{35}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=e^{\frac{53}{35}}=e\sqrt[35]{e^{18}}\\y=e^{\frac{13}{35}}=\sqrt[35]{e^{13}}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=35\)
Đáp án b sai
Bài 3:
Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ ta có:
$C=a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2$
$=[(a+b)^2-2ab]^2-2(ab)^2$
$=(8^2-2.15)^2-2.15^2=706$
Bài 2:
a)
$D=-x^2+6x-11=-11-(x^2-6x)=-2-(x^2-6x+9)$
$=-2-(x-3)^2$
Vì $(x-3)^2\geq 0$ với mọi $x$ nên $D=-2-(x-3)^2\leq -2$
Vậy GTLN của $D$ là $-2$ khi $(x-3)^2=0\Leftrightarrow x=3$
b)
$F=4x-x^2+1=1-(x^2-4x)=5-(x^2-4x+4)=5-(x-2)^2$
$\leq 5-0=5$
Vậy $F_{\max}=5$. Giá trị này được khi $(x-2)^2=0\leftrightarrow x=2$
Câu 1:
Đặt \(\sqrt{lnx+1}=t\Rightarrow lnx=t^2-1\Rightarrow\frac{dx}{x}=2tdt\)
\(\Rightarrow I=\int3t.2t.dt=6\int t^2dt=2t^3+C\)
\(=2\sqrt{\left(lnx+1\right)^3}+C=2\left(lnx+1\right)\sqrt{lnx+1}+C\)
\(=ln\left(x.e\right)^2\sqrt{ln\left(x.e\right)+0}\Rightarrow a=2;b=0\)
Câu 2:
\(\int\limits^b_ax^{-\frac{1}{2}}dx=2x^{\frac{1}{2}}|^b_a=2\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)=2\Rightarrow\sqrt{b}-\sqrt{a}=1\)
Ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{b}-\sqrt{a}=1\\a^2+b^2=17\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=4\\a=1\end{matrix}\right.\) (lưu ý loại cặp nghiệm âm do \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) chỉ xác định trên miền (a;b) dương)
Câu 4:
\(\int\frac{3x+a}{x^2+4}dx=\frac{3}{2}\int\frac{2x}{x^2+4}dx+a\int\frac{1}{x^2+4}dx\)
\(=\frac{3}{2}ln\left(x^2+4\right)+\frac{a}{2}arctan\left(\frac{x}{2}\right)+C\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{\frac{e}{4}}_1ln\left(x\right)dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{1}{x}dx\\v=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=x.lnx|^{\frac{e}{4}}_1-\int\limits^{\frac{e}{4}}_1dx=\frac{e}{4}.ln\left(\frac{e}{4}\right)-\frac{e}{4}+1=-\frac{ln\left(2^e\right)}{2}+1\)
Câu 5:
\(f'\left(x\right)=\int f''\left(x\right)dx=-\frac{1}{4}\int x^{-\frac{3}{2}}dx=\frac{1}{2\sqrt{x}}+C\)
\(f'\left(2\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}+C=2+\frac{1}{2\sqrt{2}}\Rightarrow C=2\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+2\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\int f'\left(x\right)dx=\int\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+2\right)dx=\sqrt{x}+2x+C_1\)
\(f\left(4\right)=\sqrt{4}+2.4+C_1=10\Rightarrow C_1=0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=2x+\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int\left(2x+\sqrt{x}\right)dx=x^2+\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+C_2\)
\(F\left(1\right)=1+\frac{2}{3}+C_2=1+\frac{2}{3}\Rightarrow C_2=0\)
\(\Rightarrow F\left(x\right)=x^2+\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\Rightarrow\int\limits^1_0\left(x^2+\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\right)dx=\frac{3}{5}\)
14.
\(log_aa^2b^4=log_aa^2+log_ab^4=2+4log_ab=2+4p\)
15.
\(\frac{1}{2}log_ab+\frac{1}{2}log_ba=1\)
\(\Leftrightarrow log_ab+\frac{1}{log_ab}=2\)
\(\Leftrightarrow log_a^2b-2log_ab+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(log_ab-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow log_ab=1\Rightarrow a=b\)
16.
\(2^a=3\Rightarrow log_32^a=1\Rightarrow log_32=\frac{1}{a}\)
\(log_3\sqrt[3]{16}=log_32^{\frac{4}{3}}=\frac{4}{3}log_32=\frac{4}{3a}\)
11.
\(\Leftrightarrow1>\left(2+\sqrt{3}\right)^x\left(2+\sqrt{3}\right)^{x+2}\)
\(\Leftrightarrow\left(2+\sqrt{3}\right)^{2x+2}< 1\)
\(\Leftrightarrow2x+2< 0\Rightarrow x< -1\)
\(\Rightarrow\) có \(-2+2020+1=2019\) nghiệm
12.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2>0\\0< log_3\left(x-2\right)< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>2\\1< x-2< 3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow3< x< 5\Rightarrow b-a=2\)
13.
\(4^x=t>0\Rightarrow t^2-5t+4\ge0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\le1\\t\ge4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4^x\le1\\4^x\ge4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le0\\x\ge1\end{matrix}\right.\)
a)
Ta có \(A=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos 2x\cos^2xdx=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos 2x(\cos 2x+1)d(2x)\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos x(\cos x+1)dx=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos xdx+\frac{1}{8}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}(\cos 2x+1)dx\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{4}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\sin x+\frac{1}{16}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\sin 2x+\frac{1}{8}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|x=\frac{1}{4}+\frac{\pi}{16}\)
b)
\(B=\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\frac{e^x}{e^{2x}-1}dx=\frac{1}{2}\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\left ( \frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{e^x+1} \right )d(e^x)\)
\(\Leftrightarrow B=\frac{1}{2}\left.\begin{matrix} 1\\ \frac{1}{2}\end{matrix}\right|\left | \frac{e^x-1}{e^x+1} \right |\approx 0.317\)
c)
Có \(C=\int ^{1}_{0}\frac{(x+2)\ln(x+1)}{(x+1)^2}d(x+1)\).
Đặt \(x+1=t\)
\(\Rightarrow C=\int ^{2}_{1}\frac{(t+1)\ln t}{t^2}dt=\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t}dt+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt\)
\(=\int ^{2}_{1}\ln td(\ln t)+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt=\frac{\ln ^22}{2}+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln t\\ dv=\frac{dt}{t^2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dt}{t}\\ v=\frac{-1}{t}\end{matrix}\right.\Rightarrow \int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt=\left.\begin{matrix} 2\\ 1\end{matrix}\right|-\frac{\ln t+1}{t}=\frac{1}{2}-\frac{\ln 2 }{2}\)
\(\Rightarrow C=\frac{1}{2}-\frac{\ln 2}{2}+\frac{\ln ^22}{2}\)
\(I_1=3\int_1^2x^2dx+\int_1^2\cos xdx+\int_1^2\frac{dx}{x}=x^3\)\(|^2 _1\)+\(\sin x\)\(|^2_1\) +\(\ln\left|x\right|\)\(|^2_1\)
\(=\left(8-1\right)+\left(\sin2-\sin1\right)+\left(\ln2-\ln1\right)\)
\(=7+\sin2-\sin1+\ln2\)
b) \(I_2=4\int_1^2\frac{dx}{x}-5\int_1^2x^4dx+2\int_1^2\sqrt{x}dx\)
\(=4\left(\ln2-\ln1\right)-\left(2^5-1^5\right)+\frac{4}{3}\left(2\sqrt{2}-1\sqrt{1}\right)\)
\(=4\ln2+\frac{8\sqrt{2}}{3}-32\frac{1}{3}\)
18.
\(F\left(x\right)=\int\limits xe^{x^2}dx\)
Đặt \(t=x^2\Rightarrow xdx=\frac{1}{2}dt\)
\(\Rightarrow F\left(x\right)=\frac{1}{2}\int e^tdt=\frac{1}{2}e^t+C=\frac{1}{2}e^{x^2}+C\)
Ủa bạn có ghi nhầm đáp án A ko? Thế nào thì cả A và D đều ko phải nguyên hàm
19.
\(F\left(x\right)=\int sin^4xcosxdx=\int sin^4x.d\left(sinx\right)=\frac{1}{5}sin^5x+C\)
20.
Đặt \(4x=t\Rightarrow dx=\frac{1}{4}dt\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=0\\x=2\Rightarrow t=8\end{matrix}\right.\)
\(\int\limits^2_0f\left(4x\right)dx=\int\limits^8_0\frac{1}{4}f\left(t\right)dt=\frac{1}{4}\int\limits^8_0f\left(x\right)dx=\frac{1}{4}.24=6\)
15.
\(t=cosx\Rightarrow sinx.dx=-dt\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=1\\x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^0_1e^t\left(-dt\right)=\int\limits^1_0e^tdt\)
Nếu cần kết quả tích phân thì \(I=e-1\)
16.
\(t=x^2\Rightarrow x.dx=\frac{1}{2}dt\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=0\\x=2\Rightarrow t=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^4_04^t\left(\frac{1}{2}dt\right)=\frac{1}{2}\int\limits^4_04^tdt\)
17.
\(t=x^2+2x\Rightarrow\left(x+1\right)dx=\frac{1}{2}dt\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=0\\x=1\Rightarrow t=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^3_0e^t\left(\frac{1}{2}dt\right)=\frac{1}{2}\int\limits^3_0e^tdt\)
\(I=\int\limits^e_1\frac{\frac{1-lnx}{x^2}}{\left(1+\frac{lnx}{x}\right)^2}dx\)
Đặt \(\frac{lnx}{x}=t\Rightarrow\left(\frac{1-lnx}{x^2}\right)dx=dt\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{\frac{1}{e}}_0\frac{dt}{\left(1+t\right)^2}=-\frac{1}{1+t}|^{\frac{1}{e}}_0=\frac{1}{e+1}\)
\(\Rightarrow a=b=1\Rightarrow a^2+b^2=2\)
a: \(A=\left(x-1\right)^2+2008\ge2008\)
Dấu '=' xảy ra khi x=1
d: \(D=\left|x+4\right|+1996\ge1996\forall x\)
Dấu '=' xảy ra khi x=-4
Chọn C
Đặt u = x d v = e 2 x d x ⇔ d u = d x v = 1 2 e 2 x
⇒ I = 1 2 x . e x - ∫ 1 2 e 2 x d x = 1 2 x . e x - 1 4 e 2 x d x + C
Suy ra a = 1 2 b = - 1 4 ⇒ a . b = - 1 8