Question

[Socola]

Bài 12: Cho ∆ABC, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại D và cất AC tại E. Qua C kẻ tia Cx song song với AB cắt DE ở G. Gọi H là điểm của AC và BG.

a) Chứng minh DA.EG=DB.DE.

b) Chứng minh HC²=HE.HA.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔEDA và ΔEGC có

\(\widehat{EDA}=\widehat{EGC}\)(hai góc so le trong, AD//CG)

\(\widehat{DEA}=\widehat{GEC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔEDA~ΔEGC

=>\(\dfrac{ED}{EG}=\dfrac{EA}{EC}\left(1\right)\)

Xét ΔABC có DE//BC

nên \(\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{AD}{DB}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{ED}{EG}=\dfrac{AD}{DB}\)

=>\(ED\cdot DB=EG\cdot AD\)

b: Xét ΔHEG và ΔHCB có

\(\widehat{HEG}=\widehat{HCB}\)(hai góc so le trong, EG//BC)

\(\widehat{EHG}=\widehat{CHB}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHEG~ΔHCB

=>\(\dfrac{HE}{HC}=\dfrac{EG}{CB}\)(3)

Xét ΔHGC và ΔHBA có

\(\widehat{HGC}=\widehat{HBA}\)(hai góc so le trong, AB//CG)

\(\widehat{GHC}=\widehat{BHA}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHGC~ΔHBA

=>\(\dfrac{HC}{HA}=\dfrac{GC}{BA}\left(4\right)\)

Xét tứ giác BDGC có

BD//GC

DG//BC

Do đó:BDGC là hình bình hành

=>\(\widehat{DGC}=\widehat{DBC}\)

Xét ΔGEC và ΔBCA có

\(\widehat{GEC}=\widehat{BCA}\)(hai góc so le trong, EG//BC)

\(\widehat{EGC}=\widehat{CBA}\)(cmt)

Do đó: ΔGEC~ΔBCA

=>\(\dfrac{EG}{BC}=\dfrac{GC}{BA}\left(5\right)\)

Từ (3),(4),(5) suy ra \(\dfrac{HC}{HA}=\dfrac{HE}{HC}\)

=>\(HC^2=HE\cdot HA\)