Giải phương trình nghiệm nguyên:\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}=3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
K
1
5 tháng 5 2020
điều kiện : x,y,z khác 0
Ta có : \(3=\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}=\frac{y^2z^2+x^2z^2+x^2y^2}{xyz}>0\)
Mà \(y^2z^2+x^2z^2+x^2y^2>0\Rightarrow xyz>0\)
\(\Rightarrow\frac{yz}{x},\frac{xz}{y},\frac{xy}{z}>0\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương,ta có :
\(3=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge3\sqrt[3]{xyz}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi | x | = | y | = | z |
Do đó : \(3=3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}xyz=1\\\left|x\right|=\left|y\right|=\left|z\right|\end{cases}}\)
+) Trường hợp x,y,z > 0 ta được x = y = z = 1
+) trường hợp hai trong 3 số x,y,z là số âm, ta có ( x; y ; z ) = ( 1 ; -1 ; -1 ) và các hoán vị
vậy....
NV
1
NT
4 tháng 1 2016
ban copy link nay :http://olm.vn/hoi-dap/question/305600.html roi vao google tra la có
DT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 2 2020
Lời giải:
ĐK: $x,y,z\neq 0$
Ta thấy: \(\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}=y^2>0\) với mọi $y\neq 0$
$\Rightarrow \frac{xy}{z}, \frac{yz}{x}$ cùng dấu
Tương tự: $\frac{yz}{x}, \frac{xz}{y}$ cùng dấu
$\Rightarrow \frac{xy}{z}, \frac{yz}{x}, \frac{xz}{y}$ cùng dấu.
Nếu cùng dấu âm thì hiển nhiên tổng của chúng phải âm (vô lý vì $3>0$)
Do đó $\frac{xy}{z}, \frac{yz}{x}, \frac{xz}{y}>0$
$\Rightarrow \frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}.\frac{xz}{y}=xyz>0(1)$
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(3=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow xyz\leq 1(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow xyz=1$
$\Rightarrow (x,y,z)=(1,1,1); (-1,-1,1); (-1,1,-1); (1,-1,-1)$
NT
7 tháng 8 2018
Hãy tích nếu như bạn thông minh
Ai ko tích là bình thường
Còn ai dis là "..."
5 tháng 5 2020
Ta có : \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow xy-\left(x+y\right)+1\ge0\)
\(\Rightarrow xy+z+1\ge x+y+z\Rightarrow\frac{y}{xy+z+1}\le\frac{y}{x+y+z}\)
Tương tự : \(\frac{x}{xz+y+1}\le\frac{x}{x+y+z}\); \(\frac{z}{yz+x+1}\le\frac{z}{x+y+z}\)
Cộng lại,ta được :
\(VT\le\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)( 1 )
Mà \(x+y+z\le3\Rightarrow VP=\frac{3}{x+y+z}\ge1\)( 2 )
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra x = y = z = 1
Vậy ...
L
1
22 tháng 1 2017
Ta có: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}=3\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=3xyz\ge0\)
\(\Rightarrow xyz\ge0\)(1)
Ta lại có: \(x^2y^2+y^2z^2+Z^2x^2\ge3xyz\sqrt[3]{xyz}\)
\(\Rightarrow3xyz\ge3xyz\sqrt[3]{xyz}\)
\(\Leftrightarrow xyz\le1\)(2)
Từ (1) và (2) ta được: \(0\le xyz\le1\)
Mà x, y, z khác 0 nên suy ra xyz = 1
\(\Rightarrow\)(x, y, z) = (1,1,1; -1,-1,1; -1,1,-1; 1,-1,-1)
LC
4
19 tháng 11 2017
Áp dụng bất đẳng thứ Cauchy (AM-GM):
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(xyz\right)^2}{xyz}}=3\sqrt[3]{xyz}\)
Mà: \(0\le xyz\le1\Leftrightarrow xyz=1\)
Từ đó: \(\hept{\begin{cases}xy=\frac{1}{z}\\\frac{xy}{z}\end{cases}\Leftrightarrow\frac{1}{z^2}}\) (1)
Tương tự: \(\hept{\begin{cases}yz=\frac{1}{x}\\\frac{yz}{x}\end{cases}\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}}\) (2)
Và: \(\hept{\begin{cases}zx=\frac{1}{y}\\\frac{zx}{y}\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{1}{y^2}\) (3)
Từ trên (1)(2)(3): \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=3\) (Dạng Bunhiacopxki)
Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
24 tháng 12 2017
tiếp tục câu 2,vì máy bị lỗi nên phải tách ra:
Ta có:\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+xz+yz\right)\right).\)
Dó đó:\(x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+yz+xz\right)+2010\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)^3.\)(2)
TỪ \(\left(1\right),\left(2\right)\)suy ra \(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\frac{1}{x+y+z}.\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2010}}{3}\)
24 tháng 12 2017
2)Ta có:
\(x\left(x^2-yz+2010\right)=x\left(x^2+xy+xz+1340\right)>0\)
Tương tự ta có:\(y\left(y^2-xz+2010\right)>0,z\left(z^2-xy+2010\right)>0\)
Áp dụng svac-xơ ta có:
\(P=\frac{x^2}{x\left(x^2-yz+2010\right)}+\frac{y^2}{y\left(y^2-xz+2010\right)}+\frac{z^2}{z\left(z^2-xy+2010\right)}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)}.\)(1)
15 tháng 11 2018
a/ Đảo ngược lại rồi đặc \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)
15 tháng 11 2018
b/ Dễ thấy vai trò x, y, z như nhau nên ta chỉ cần xét 1 trường hợp tiêu biểu thôi.
Xét \(x>y>z\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}< \frac{1}{y}< \frac{1}{z}\)
\(\Rightarrow x+\frac{1}{y}>z+\frac{1}{x}\)(trái giả thuyết)
\(\Rightarrow x=y=z\)'
\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}=2\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
T
5 tháng 6 2019
#)Góp ý :
Mời bạn tham khảo :
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/
Mình sẽ gửi link này về chat riêng cho bạn !
LD
6 tháng 6 2019
Tham khảo qua đây nè :
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%Ân-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017
tk cho mk nhé
Ta có phương trình \(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=3xyz\ge0\)
Ta lại có \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^4}=3xyz\sqrt[3]{xyz}\)
\(\Rightarrow3xyz\ge3xyz\sqrt[3]{xyz}\)
\(\Leftrightarrow1\ge\sqrt[3]{xyz}\ge0\)
\(\Leftrightarrow1\ge xyz>0\)
Vì x,y,z nguyên
=> xyz=1
Vậy x,y,z là \(\left\{1,1,1;1,-1,-1;-1,-1,1;-1,1,-1\right\}\)
Cre: @tpokemont