Question

[dam thu a]

giải phương trình nghiệm nguyên

\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}=3\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

ĐK: $x,y,z\neq 0$

Ta thấy: \(\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}=y^2>0\) với mọi $y\neq 0$

$\Rightarrow \frac{xy}{z}, \frac{yz}{x}$ cùng dấu

Tương tự: $\frac{yz}{x}, \frac{xz}{y}$ cùng dấu

$\Rightarrow \frac{xy}{z}, \frac{yz}{x}, \frac{xz}{y}$ cùng dấu.

Nếu cùng dấu âm thì hiển nhiên tổng của chúng phải âm (vô lý vì $3>0$)

Do đó $\frac{xy}{z}, \frac{yz}{x}, \frac{xz}{y}>0$

$\Rightarrow \frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}.\frac{xz}{y}=xyz>0(1)$

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(3=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow xyz\leq 1(2)\)

Từ $(1);(2)\Rightarrow xyz=1$

$\Rightarrow (x,y,z)=(1,1,1); (-1,-1,1); (-1,1,-1); (1,-1,-1)$