Question

[Yoriichi Tsugikuni]

Cho ΔABC vuông tại A, AB < AC. Phân giác BI. Đường cao AH. Trên BC lấy K sao cho BA = BK.

1. Chứng minh:

a) AI = IK

b) AH // IK

c) BI là trung trực AK

d) AK là phân giác góc HAC

2. Gọi AH giao BI tại N. Chứng minh:

a) Góc ANI = Góc AIN

b) NA = NK

c) NK ⊥ AB

3. Lấy E thuộc tia đối tia HA sao cho HA = HE. Chứng minh rằng: CB là phân giác góc ECA.

4. Kẻ KI giao AB tại D. Gọi V là trung điểm CD. Chứng minh:

a) ID = IC

b) B, I, V thẳng hàng

c) CD // AK

5. Kẻ IK giao CE tại M. Chứng minh:

a) CM = CI

b) CB là trung trực IM

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

1:

a: Xét ΔBAI và ΔBKI có

BA=BK

\(\widehat{ABI}=\widehat{KBI}\)

BI chung

Do đó: ΔBAI=ΔBKI

=>IA=IK

b: ΔBAI=ΔBKI

=>\(\widehat{BAI}=\widehat{BKI}=90^0\)

=>IK\(\perp\)BC

mà AH\(\perp\)BC

nên AH//KI

c: BA=BK

=>B nằm trên đường trung trực của AK(1)

IA=IK

=>I nằm trên đường trung trực của AK(2)

Từ (1) và (2) suy ra BI là đường trung trực của AK

d: BA=BK

=>ΔBAK cân tại B

=>\(\widehat{BAK}=\widehat{BKA}\)

\(\widehat{BAK}+\widehat{CAK}=\widehat{BAC}=90^0\)

\(\widehat{BKA}+\widehat{HAK}=90^0\)(ΔKAH vuông tại H)

mà \(\widehat{BAK}=\widehat{BKA}\)

nên \(\widehat{CAK}=\widehat{HAK}\)

=>AK là phân giác của góc HAC

2:

a: Ta có: \(\widehat{ANI}=\widehat{BNH}\)(hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{BNH}+\widehat{HBN}=90^0\)(ΔHNB vuông tại H)

Do đó: \(\widehat{ANI}+\widehat{HBN}=90^0\)

mà \(\widehat{HBN}=\widehat{ABI}\)

nên \(\widehat{ANI}+\widehat{ABI}=90^0\)

mà \(\widehat{ABI}+\widehat{AIN}=90^0\)(ΔABI vuông tại A)

nên \(\widehat{ANI}=\widehat{AIN}\)

b: Xét ΔBAN và ΔBKN có

BA=BK

\(\widehat{ABN}=\widehat{KBN}\)

BN chung

Do đó; ΔBAN=ΔBKN

=>NA=NK

c: BI là trung trực của AK

=>BI\(\perp\)AK

Xét ΔBAK có

BI,AH là đường cao

BI cắt AH tại N

Do đó: N là trực tâm của ΔBAK

=>KN\(\perp\)AB

3:

Xét ΔCAE có

CH là đường cao

CH là đường trung tuyến

Do đó: ΔCAE cân tại C

=>CA=CE

ΔCAE cân tại C

mà CB là đường cao

nên CB là phân giác của \(\widehat{ACE}\)