cho x, y, z>= √2. chứng minh rằng 1/y*5+z*5+2xyz + 1/z*5+x*5+2xyz + 1/x*5+y*5+2xyz <= 1/2xyz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
0
HP
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 1 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$1=xy+yz+xz+2xyz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}+2.\frac{(x+y+z)^3}{27}$
$\Leftrightarrow 1\leq \frac{t^2}{3}+\frac{2t^3}{27}$ (đặt $x+y+z=t$)
$\Leftrightarrow 2t^3+9t^2-27\geq 0$
$\Leftrightarrow (t+3)^2(2t-3)\geq 0$
$\Leftrightarrow 2t-3\geq 0$
$\Leftrightarrow t\geq \frac{3}{2}$ hay $x+y+z\geq \frac{3}{2}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$
BK
1
AP
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 4 2021
\(P=xy+yz+zx-2xyz=\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)-2xyz\)
\(P=xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+xyz\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
Do vai trò của x;y;z là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(z=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow z\le\dfrac{1}{3}\)
\(P=xy\left(1-2z\right)+z\left(x+y\right)=xy\left(1-2z\right)+z\left(1-z\right)\)
\(P\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\left(1-2z\right)+z\left(1-z\right)=\dfrac{\left(1-z\right)^2\left(1-2z\right)}{4}+z\left(1-z\right)\)
\(P\le\dfrac{1+z^2-2z^3}{4}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{z.z.\left(1-2z\right)}{4}\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{27.4}\left(z+z+1-2z\right)^3=\dfrac{7}{27}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
9 tháng 8 2023
D=A+B+3M
=A+B+3(A-B)
=4A-2B
=4(y^2-x^2z^2+2xyz+5)-2(2y^2-2x^2z^2+4xyz+7)
=4y^2-4x^2z^2+8xyz+20-4y^2+4x^2z^2-8xyz-14
=20-14=6
A
1
13 tháng 10 2018
Vì x;y;z là 3 cạnh của tam giác
=> \(x+y>z\)
\(\Rightarrow x+y+z>z+z\)
\(\Rightarrow x+y+z>2z\)
\(\Rightarrow2>2z\Rightarrow z< 1\)
Chứng minh tương tự ta được: x < 1 ; y < 1
\(\Rightarrow1-x>0;1-y>0;1-z>0\)
\(\Rightarrow\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)>0\)
\(\Rightarrow\left(1-y-x+xy\right)\left(1-z\right)>0\)
\(\Rightarrow1-y-x+xy-z+yz+xz-xyz>0\)
\(\Rightarrow1-\left(x+y+z\right)+xy+yz+xz-xyz>0\)
\(\Rightarrow1-2+xy+yz+xz-xyz>0\)
\(\Rightarrow-1+xy+yz+xz-xyz>0\)
\(\Rightarrow2\left(-1+xy+yz+xz-xyz\right)>0\)
\(\Rightarrow-2+2xy+2yz+2xz-2xyz>0\)
\(\Rightarrow-\left(2-2xy-2yz-2xz+2xyz\right)>0\)
\(\Rightarrow2-2xy-2yz-2xz+2xyz< 0\)
\(\Rightarrow4-2xy-2yz-2xz+2xyz< 2\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-2xy-2yz-2xz+2xyz< 2\) (Vì x+y+z = 2 => (x+y+z)2 = 22 = 4)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz-2xy-2yz-2xz+2xyz< 2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz< 2\)
=> đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 6 2020
Điều kiện là x;y;z dương
\(VT=\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{1}{2\sqrt{xy.xz}}+\frac{1}{2\sqrt{xy.yz}}+\frac{1}{2\sqrt{zx.yz}}\)
\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{yz}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{x+y+z}{2xyz}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Ta có: \(a^5+b^5\ge a^2b^2\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^5+b^5+2abc\ge a^2b^2\left(a+b\right)+2abc\)
\(\ge ab\left[ab\left(a+b\right)+2c\right]\ge ab\left[2\left(a+b\right)+2c\right]=2ab\left(a+b+c\right)\) (áp dụng với \(a,b,c\ge\sqrt{2}\))
\(\Rightarrow\frac{1}{a^5+b^5+2abc}\le\frac{1}{2ab\left(a+b+c\right)}\)
Áp dụng vào bài toán ta được
\(P\le\frac{1}{2xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{2yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{2zx\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{x+y+z}{2xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2xyz}\)