Chứng minh trong 1 tam giác có tổng ba đường trung tuyến lớn hơn nửa chu vi và nhỏ hơn nửa chu vi tam giác đó
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a. Ta có :a>hoặc =b ,a>hoặc =c>0
suy ra :b - c<a< b+c
Ta có : a< b+c
suy ra :a+a<b+c+a
suy ra:2a<a+b+c
suy ra :a< a+b+c\2
b. ta có : a> hoặc =b>0 ,a> hoặc =c>0
suy ra :b+c < hoặc = a+a
suy ra : b+c < hoặc = 2a
suy ra :a+b+c< hoặc = 3a
suy ra : a+b+c \3 < hoặc = a
Vẽ tam giác ABC với các trung tuyến AD, BE, CF, trọng tâm (giao điểm 3 trung tuyến) là G.
Gọi M là điểm đối xứng của A qua D ---> D vừa là trung điểm AM, vừa trung điểm BC ---> ABMC là hình bình hành
---> BM=AC
Xét tam giác ABM---> \(AD< AB+BM\Leftrightarrow2AM< AB+AC\)(BĐT tam giác)
Hoàn toàn tương tự \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2BE< BC+BA\\2CF< CA+CB\end{cases}}\)
Cộng các BĐT vế theo vế \(\Rightarrow2\left(AM+BE+CF\right)< 2\left(AB+BC+CA\right)\Rightarrow AM+BE+CF< AB+BC+CA\)--->ĐPCM
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(AG=\frac{2}{3}AM,BG=\frac{2}{3}BE,CG=\frac{2}{3}CF\)
Xét tam giác AGB \(\Rightarrow AB< AG+BG=\frac{2}{3}\left(AM+BE\right)\)(BĐT tam giác)
Hoàn toàn tương tự \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}BC< \frac{2}{3}\left(BE+CF\right)\\CA< \frac{2}{3}\left(CF+AM\right)\end{cases}}\)
Cộng các BĐT vế theo vế \(\Rightarrow AB+BC+CA< 2.\frac{2}{3}\left(AM+BE+CF\right)\)
\(\Rightarrow\frac{3}{4}\left(AB+BC+CA\right)< AM+BE+CF\)--->ĐPCM
ap dụng đinh lí bất dẳng thức tam giác ta cóMA<MI+IA
TA cộng cả 2 vế trên với MB ta có MA+MB<MI+MB+IA
MA+MB< IB +IA (1)
tương tự ta có IB<IC+BC
Cộng cả hai vế trên vớiIA ta có IB+IA<IC+IA+BC
IB+IA<AC+ BC(2)
từ (1) và (2) ta được MA+MB<IA+IB<AC+BC
hay MA+MB<AC+BC (3)
Tương tự như vậy ta cũng có MA+MC<AB+BC(4)
MB+MC<AB+AC (5)
CÔng theo vế của (3),(4).(5) ta được
MA+MB+MA+MC+MB+MC<AC+BC+AB+BC+AB+AC
2(MA+MB+MC)<2(AB+AC+BC)
MA+MB+MC<AC+AB+BC(cùng chia 2 vế cho 2)(**)
Aps dụng đ/l bất đẳng thức tam giác ta có
AB<MB+MA
AC<MA+MC
BC<MC+MB
cộng theo vế của các bất đảng thức trên ta được
AB+AC+BC<MB+MA+MA+MC+MC+MB
AB+AC+BC<2(MA+MB+MC)
AB+AC+BC/2<MA+MB+MC (CHIA CẢ HAI VẾ CHO 2) (*)
TỪ (**) VÀ (*) ta suy ra
AB+AC+BC/2<MA+MB+MC<AB+AC+BC
vậy MA+MB+MC lớn hơn nửa chu vi và nhỏ hơn chu vi cua tam giác ABC
Giả sử tứ giác ABCD có : AB=a, BC=b, CD=c,DA=d
Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có :
AC+BD=AO+OB+OC+OD>AB+CD=a+c
Tương tự : AC+BD>b+d
Suy ra : 2(AC+BD)>a+b+c+d=AC+BD=a+b+c+d2
Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác
Theo bất đẳng thức tam giác ta có :
AC<a+b;AC<c+d
BD<b+c;BD<a+d
=2(AC+BD)<2(a+b+c+d)
=AC+BD<a+b+c+d
Vậytổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác.
Mong ban k cho minh nha ♥♥♥
Xét tam giác ABC như hình vẽ. ta cần chứng minh: \(\frac{3}{4}\)(AB + BC + CA) < AM + BD + CE < AB + BC + CA
*) Chứng minh: AM + BD + CE < AB + BC + CA
+) Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho MA = MK
Khi đó, dễ dàng => tam giác BMK = CMA (c - g - c) => BK = AC
+) Xét tam giác ABK có: AK < AB +BK mà AK = 2.AM ; BK = AC
=> 2.AM < AB + AC (1)
Tương tự, ta có: 2.BD < AB + BC (2)
2.CE < AC + BC (3)
Cộng từng vế của (1)(2)(3) => 2.(AM + BD + CE) < 2. (AB + BC + CA)
=> AM + BD + CE < AB + BC + CA
*) Chứng minh: \(\frac{3}{4}\)(AB + BC + CA) < AM + BD + CE
+) Xét tam giác AGB có: AG + GB > AB
mà AG = \(\frac{2}{3}\).AM ; BG = \(\frac{2}{3}\).BD (do G là trong tâm tam giác ABC)
=> \(\frac{2}{3}\).(AM + BD) > AB
+) Tương tự, ta có: \(\frac{2}{3}\)(AM + CE) > AC; \(\frac{2}{3}\)(BD + CE) > BC
=> \(\frac{2}{3}\).2. (AM + BD + CE) > AB + BC + CA
<=> \(\frac{4}{3}\) (AM + BD + CE) > AB + BC + CA
=> AM + BD + CE > \(\frac{3}{4}\)(AB + BC + CA)
=> ĐPCM
Xét tam giác ABC như hình vẽ. ta cần chứng minh: 4 3 (AB + BC + CA) < AM + BD + CE < AB + BC + CA *) Chứng minh: AM + BD + CE < AB + BC + CA +) Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho MA = MK Khi đó, dễ dàng => tam giác BMK = CMA (c - g - c) => BK = AC +) Xét tam giác ABK có: AK < AB +BK mà AK = 2.AM ; BK = AC => 2.AM < AB + AC (1) Tương tự, ta có: 2.BD < AB + BC (2) 2.CE < AC + BC (3) Cộng từng vế của (1)(2)(3) => 2.(AM + BD + CE) < 2. (AB + BC + CA) => AM + BD + CE < AB + BC + CA *) Chứng minh: 4 3 (AB + BC + CA) < AM + BD + CE +) Xét tam giác AGB có: AG + GB > AB mà AG = 3 2 .AM ; BG = 3 2 .BD (do G là trong tâm tam giác ABC) => 3 2 .(AM + BD) > AB +) Tương tự, ta có: 3 2 (AM + CE) > AC; 3 2 (BD + CE) > BC => 3 2 .2. (AM + BD + CE) > AB + BC + CA <=> 3 4 (AM + BD + CE) > AB + BC + CA => AM + BD + CE > 4 3 (AB + BC + CA) => ĐPC