Cho điểm M thuộc nửa đường tròn có đường kính AB (M khác A và B). Ta lấy điểm I nằm giữa M và B, kẻ IH vuông góc với cạnh AB tại H. Đoạn thẳng AI cắt đoạn thẳng MH tại điểm K. Chứng minh rằng
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1 thiếu đề
Bài 2 Mình không vẽ được hình nên bạn thông cảm
Xét tam giác vuông ACO có \(CM\perp AO\)
=> \(OM.OA=OC^2=OD^2\)
=> \(\frac{OD}{OA}=\frac{OM}{OD}\)
=> tam giác MDO đồng dạng tam giác DAO
=> MDO=OAD
Mà MDO=DEO
=> OAD=DEO
=> tứ giác ADOE nội tiếp
Vậy tứ giác ADOE nội tiếp
b) Dễ thấy C là trực tâm của tam giác IAB nên C, I, H thẳng hàng.
Do tứ giác AICK là hình thang nội tiếp được đường tròn nên là hình thang cân.
Khi đó \(\widehat{IAK}=\widehat{CKA}\Rightarrow\widehat{IAB}=\widehat{NBA}\)
Suy ra tam giác NAB vuông cân tại N nên \(\widehat{NBA}=45^o\).
Ta có các tứ giác CMIN, AMIH nội tiếp được nên \(\widehat{NMH}=\widehat{NMI}+\widehat{HMI}=\widehat{ICN}+\widehat{IAB}=45^o+45^o=90^o\Rightarrow MN\perp MH\).
c) Đề phải là \(\dfrac{IC}{IH}+\dfrac{IA}{IN}+\dfrac{IB}{IM}\ge6\).
Đặt \(x=\dfrac{IH}{CH};y=\dfrac{IN}{AN};z=\dfrac{IM}{BM}\left(x,y,z< 1\right)\).
Ta có \(x+y+z=\dfrac{S_{IAB}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{IBC}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{ICA}}{S_{ABC}}=1\).
Lại có \(\dfrac{IH}{CH}=x\Rightarrow\dfrac{CH}{IH}=\dfrac{1}{x}\Rightarrow\dfrac{IC}{IH}=\dfrac{1}{x}-1\).
Tương tự \(\dfrac{IA}{IN}=\dfrac{1}{y}-1;\dfrac{IB}{IM}=\dfrac{1}{z}-1\).
Do đó \(\dfrac{IC}{IH}+\dfrac{IA}{IN}+\dfrac{IB}{IM}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-3\ge_{Svacxo}\dfrac{9}{x+y+z}-3=\dfrac{9}{1}-3=6\).
Vậy ta có đpcm.