Cho x,y là số nguyên dương t/m: x+y=2013
Tìm min & max P= x(x^2+y)+y(y^2+x)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ND
0
Những câu hỏi liên quan
DH
2
21 tháng 5 2021
có x+y=2021=>y=2021-x
=>x.y=x(2021-x)=2021x-\(x^2\)
=>P=2021x-\(x^2\)
=> -P=\(x^2-2021x\)\(=x^2-2.\dfrac{2021}{2}.x+\left(\dfrac{2021}{2}\right)^2-\left(\dfrac{2021}{2}\right)^2\)=\(\left(x-\dfrac{2021}{2}\right)^2-\left(\dfrac{2021}{2}\right)^2\)
lại có x,y nguyên dương=>x,y\(\ge\)1
có x+y=2021=>x,y\(\le\)2020
=>\(x\le2020\)
=>\(x-\dfrac{2021}{2}\le2020-\dfrac{2021}{2}\)
<=>\(\left(x-\dfrac{2021}{2}\right)^2\le\left(\dfrac{2019}{2}\right)^2\)
=>\(\left(x-\dfrac{2021}{2}\right)^2-\left(\dfrac{2021}{2}\right)^2\le\)\(\left(\dfrac{2019}{2}\right)^2-\left(\dfrac{2021}{2}\right)^2=-2020\)
<=>\(-P\le-2020< =>P\ge2020\)
dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2020\\x=1\end{matrix}\right.\)
vậy MIN P=2020 khi x=2020 hoặc x=1
21 tháng 5 2021
bổ sung đoạn cuối dấu với x=2020 thì y=1
với x=1 thì y =2020
TN
0
SL
6 tháng 4 2016
bài này hình như trong đề thi hsg tỉnh thanh hóa 2013-2014 hoặc 2012-2013 lên mạng tra đáp án nha
AH
9 tháng 10 2017
Lời giải:
Không mất tính tổng quát. Giả sử \(x\geq y\Rightarrow 2x\geq 2017\Rightarrow x\geq 1009\) (do \(x\) nguyên dương)
Thực hiện biến đổi P
\(P=x(x^2+y)+y(y^2+x)=(x^3+y^3)+2xy\)
\(\Leftrightarrow P=(x+y)(x^2-xy+y^2)+2xy\)
\(\Leftrightarrow P=2017(x^2-xy+y^2)+2xy=2017(x+y)^2-6049xy\)
\(\Leftrightarrow P=2017^3-6049xy=2017^3-6049x(2017-x)\)
\(\Leftrightarrow P=6049x^2-6049.2017xy+2017^3\)
Tìm max:
Tiếp tục biến đổi :\(P=6049(x-1)(x-2016)+2017^3-2016.6049\)
Vì \(x\) nguyên dương \(\Rightarrow x\geq 1\)
\(y\geq 1\Rightarrow x=2017-y\leq 2016\)
Do đó \((x-1)(x-2016)\leq 0\Rightarrow P\leq 2017^3-2016.6049\)
Vậy \((Max) P=2017^3-2016.6049\Leftrightarrow (x,y)=(2016,1)\) và hoán vị
Tìm min:
Biến đổi \(P=6049(x-1008)(x-1009)+2017^3-1008.1009.6049\)
Vì \(x\geq 1009\Rightarrow (x-1008)(x-1009)\geq 0\), do đó \(P\geq 2017^3-1008.1009.6049\)
Vậy \((Min)P=2017^3-6049.1008.1009\Leftrightarrow (x,y)=(1009,1008)\) và hoán vị.
18 tháng 6 2019
Vì là số hữu tỉ nên \(\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}=\frac{a}{b}\left(a;b\inℕ^∗\right)\)
\(\Leftrightarrow bx+by\sqrt{2013}=ay+az\sqrt{2013}\)
\(\Leftrightarrow az\sqrt{2013}-by\sqrt{2013}=bx-ay\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2013}\left(az-by\right)=bx-ay\)
Vì VP là số hữu tỉ nên VT là số hữu tỉ
Mà \(\sqrt{2013}\)là số vô tỉ
Nên \(bx-ay=az-by=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}bx=ay\\az=by\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\\\frac{y}{z}=\frac{a}{b}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}\)
\(\Rightarrow xz=y^2\)
Ta có \(x^2+y^2+z^2=x^2+2xz+z^2-y^2=\left(x+z\right)^2-y^2=\left(x-y+z\right)\left(x+y+z\right)\)
Mà \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố nên
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=x+y+z\\x-y+z=1\end{cases}}\)(Do \(x-y+z< x+y+z\))
Vì x ; y ; z nguyên dương nên \(x;y;z\ge1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2\ge x\\y^2\ge y\\z^2\ge z\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge x+y+z\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1 (thỏa mãn)
DT
18 tháng 6 2019
Theo đề ra ta có: \(\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}=\frac{m}{n}\left(m,n\in Z;\left(m,n\right)=1\right).\)
\(\Rightarrow nx+ny\sqrt{2013}=my+mz\sqrt{2013}\Leftrightarrow nx-my=\sqrt{2013}\left(mz-ny\right).\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}nx-my=0\\mz-ny=0\end{cases}}\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{m}{n}\Rightarrow xz=y^2\)(vì x,y,n,m đều là các số nguyên )
Khi đó: \(x^2+y^2+z^2=\left(x+z\right)^2-2xz+y^2=\left(x+z\right)^2-2y^2+y^2=\left(x+z\right)^2-y^2\)
\(=\left(x-y+z\right)\left(x+y+z\right)\)
Dễ thấy \(x+y+z\)là số nguyên lớn hơn 1 và \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố nên:
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=x+y+z\\x-y+z=1\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=1\)
Thử lại ta thấy x=y=z=1 thỏa mãn .
N
22 tháng 8 2019
\(A=\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}=x\left(1-\frac{y^2}{1+y^2}\right)+y\left(1-\frac{z^2}{1+z^2}\right)+z\left(1-\frac{x^2}{1+x^2}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge x\left(1-\frac{y}{2}\right)+y\left(1-\frac{z}{2}\right)+z\left(1-\frac{x}{2}\right)=\left(x+y+z\right)-\frac{xy+yz+zx}{2}\ge3-\frac{\frac{9}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=1\)
Vay \(A_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(x=y=z=1\)
TI
2
15 tháng 4 2018
x/y+y/x=x^2+y^2/xy sử dụng bdt cosi =>x^2+y^2/xy+xy/x^2+y^2>=1
1 tháng 12 2019
ta có: \(M=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2+y^2}{xy}\cdot\frac{xy}{x^2+y^2}}=2\cdot\sqrt{1}=2\cdot1=2.\)
(Ở đây mình áp dụng BĐT Cauchy: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)nhé!)
Học tốt! ^3^