Question

[Witch Rose]

cho x,y là các số nguyên dương thỏa mãn x+y=2017. Tìm Min và Max

\(P=x\left(x^2+y\right)+y\left(y^2+x\right)\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Không mất tính tổng quát. Giả sử \(x\geq y\Rightarrow 2x\geq 2017\Rightarrow x\geq 1009\) (do \(x\) nguyên dương)

Thực hiện biến đổi P

\(P=x(x^2+y)+y(y^2+x)=(x^3+y^3)+2xy\)

\(\Leftrightarrow P=(x+y)(x^2-xy+y^2)+2xy\)

\(\Leftrightarrow P=2017(x^2-xy+y^2)+2xy=2017(x+y)^2-6049xy\)

\(\Leftrightarrow P=2017^3-6049xy=2017^3-6049x(2017-x)\)

\(\Leftrightarrow P=6049x^2-6049.2017xy+2017^3\)

Tìm max:

Tiếp tục biến đổi :\(P=6049(x-1)(x-2016)+2017^3-2016.6049\)

Vì \(x\)  nguyên dương \(\Rightarrow x\geq 1\)

\(y\geq 1\Rightarrow x=2017-y\leq 2016\)

Do đó \((x-1)(x-2016)\leq 0\Rightarrow P\leq 2017^3-2016.6049\)

Vậy \((Max) P=2017^3-2016.6049\Leftrightarrow (x,y)=(2016,1)\) và hoán vị

Tìm min: 

Biến đổi \(P=6049(x-1008)(x-1009)+2017^3-1008.1009.6049\)

Vì \(x\geq 1009\Rightarrow (x-1008)(x-1009)\geq 0\), do đó \(P\geq 2017^3-1008.1009.6049\)

Vậy \((Min)P=2017^3-6049.1008.1009\Leftrightarrow (x,y)=(1009,1008)\) và hoán vị.