Question

[Nguyễn Hồng Ngọc]

Cho \(\Delta\)ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Vẽ IN vuông
góc với AB tại N, IM vuông góc với AC tại M.
a) Cho AB = 5cm, BC = 13cm. Tính diện tích tam giác ABC
b) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật.
c) Trên tia đối của tia NI lấy điểm E sao cho NE = NI. Chứng minh tứ giác AIBE là hình thoi.
d) Lấy F đối xứng với I qua M. Chứng minh E, A, F thẳng hàng.

Answer 1

[Nguyễn Nam Dương]

a) Xét tứ giác AMIN có:

∠(MAN) = ∠(ANI) = ∠(IMA) = 90o

⇒ Tứ giác AMIN là hình chữ nhật (có 3 góc vuông).

b) ΔABC vuông có AI là trung tuyến nên AI = IC = BC/2

do đó ΔAIC cân có đường cao IN đồng thời là đường trung tuyến

⇒ NA = NC.

Mặt khác ND = NI (t/c đối xứng) nên ADCI là hình bình hành

Lại có AC ⊥ ID (gt). Do đó ADCI là hình thoi.

c) Ta có: AB2 = BC2 – AC2 (định lí Py-ta-go)

= 252 – 202 ⇒ AB = √225 = 15 (cm)

Vậy SABC = (1/2).AB.AC = (1/2).15.20 = 150 (cm2)

d) Kẻ IH // BK ta có IH là đường trung bình của ΔBKC

⇒ H là trung điểm của CK hay KH = HC (1)

Xét ΔDIH có N là trung điểm của DI, NK // IH (BK // IH)

Do đó K là trung điểm của DH hay DK = KH (2)

Từ (1) và (2) ⇒ DK = KH = HC ⇒ DK/DC= 1/3.