Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: \(0\le a,b,c\le2\) và a+b+c=3. CMR: \(a^3+b^3+c^3\le9\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VV
2
25 tháng 7 2018
Theo hằng đẳng thức đáng nhớ ta có :
\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+abc\right)\left(1\right)\)
Ta lại có : \(0\le a,b,c\le2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}abc\ge0\\\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow8-4a-4b-4c+2ab+2bc+2ca-abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow2ab+2bc+2ca-4\ge abc\Leftrightarrow abc\le-4\) ( Vì \(a,b,c\ge0\) ) \(\left(2\right)\)
Thay (2) vào (1) ta được :
\(a^3+b^3+c^3\le3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca-4\right)=3\left[\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)\right]=3\left(9-3\left(ab+bc+ca\right)\right)\)
Mà từ (2) ta lại có : \(2ab+2bc+2ca\ge abc+4=4\Rightarrow ab+bc+ca\ge2\Rightarrow-3\left(ab+bc+ca\right)\le-6\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\le3\left(9-6\right)=9\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=0;b=1;c=2\) và hoán vị
NM
3
TN
8 tháng 2 2017
Không mất tính tổng quát giả sử a lớn nhất trong các số a,b,c. Từ đó suy ra
\(3a\ge a+b+c=3\Leftrightarrow2\ge a\ge1\left(1\right)\)
Từ điều kiện \(0\le b,c\le a\le2\). ta có
\(a^3+b^3+c^3\le a^3+\left(b+c\right)^3=a^3+\left(3-a\right)^3=9\left(a-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{27}{4}\left(2\right)\)
Mà từ \(b,c\ge0\) và \(a+b+c=3\).Lưu ý rằng khi ta có \(1\le a\le2\) từ \(\left(1\right)\) ta có: \(\left(a-\frac{3}{2}\right)^3\le\frac{1}{4}\left(3\right)\).
Vậy \(a^3+b^3+c^3\le9\left(a-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{27}{4}\le\frac{9}{4}+\frac{27}{4}=9\)
Từ (2) và (3). Như vậy đã chứng minh xong
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=1\\c=0\end{cases}}\)
TN
8 tháng 2 2017
Let \(a\ge b\ge c\)
Since \(f\left(x\right)=x^3\)is a convex function on \(\left[0,3\right]\) and \(\left(2,1,0\right)›\left(a,b,c\right)\)
By Karamata's inequality we obtain
\(9=2^3+1^3+0^2\ge a^3+b^3+c^3\)
Done! :)))
P/s:viết tiếng anh giỏi quá =))
25 tháng 2 2018
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c² -ab-bc-ca) ; thay giả thiết a+b+c = 3 ta có:
a³+b³+c³ = 3(a²+b²+c² -ab-bc-ca + abc) (1)
* từ giả thiết 0 ≤ a, b, c ≤ 2 => (2-a)(2-b)(2-c) ≥ 0
⇔ 8 -4a-4b-4c + 2ab+2bc+2ca -abc ≥ 0 (lại thay a+b+c = 3)
⇒ abc ≤ 2ab+2bc+2ca - 4 (2)
Dấu '=' khi có 1 số = 2
thay (1) vào (2) ta có:
a³+b³+c³ ≤ 3(a²+b²+c² +ab+bc+ca - 4) = 3[(a+b+c)² - ab-bc-ca -4] = 3(5-ab-bc-ca) (3)
Mặt khác cũng từ (2) ta có: 2(ab+bc+ca) ≥ abc+4 ≥ 4
⇒ -ab-bc-ca ≤ -2 (dấu "=" khi có 1 số = 0) thay vào (3) ta có
a³+b³+c³ ≤ 3(5-ab-bc-ca) ≤ 9 (đpcm)
Mới lớp 8 nên không hiểu biết rộng về lớp 9 sai bỏ qua
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 2 2017
Giải:
Vì \(0\leq a,b,c\leq 1\Rightarrow ab,ac,ab\geq abc\)
Do đó mà \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\leq \frac{a+b+c}{abc+1}\)
Giờ chỉ cần chỉ ra \(\frac{a+b+c}{abc+1}\leq 2\). Thật vậy:
Do \(0\leq b,c\leq 1\Rightarrow (b-1)(c-1)\geq 0\Leftrightarrow bc+1\geq b+c\Rightarrow bc+a+1\geq a+b+c\)
Suy ra \( \frac{a+b+c}{abc+1}\leq \frac{bc+a+1}{abc+1}=\frac{bc+a-2abc-1}{abc+1}+2=\frac{(bc-1)(1-a)-abc}{abc+1}+2\)
Ta có \(\left\{\begin{matrix}bc\le1\\a\le1\\abc\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\left(bc-1\right)\left(1-a\right)\le1\\-abc\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \frac{(bc-1)(1-a)-abc}{abc+1}+2\leq 2\Rightarrow \frac{a+b+c}{abc+1}\leq 2\)
Chứng minh hoàn tất
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(0,1,1)\) và hoán vị.
3 tháng 4 2022
Bài 3:
\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2\left(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\ge\dfrac{4}{xy}.x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2-2xy+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2-2xy+\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}-x+y\right)^2=0\) (luôn đúng)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2021
\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\ge a^2b+b^2c+c^2a\)
\(\Leftrightarrow\left(c^2b-abc-b^2c+ab^2\right)+\left(ca^2+abc-ac^2-a^2b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow b\left(c^2-ac-bc+ab\right)-a\left(c^2-ac-bc+ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(c^2-ac-bc+ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)\ge0\) (luôn đúng do \(c\ge b\ge a>0\))
NM
0