Question

[๖ۣۜℳเйɦ☂đąйǥ☂ɦọς☂Ŧ๏áйッ]

Cho \(a;b;c;d;n\inℕ^∗\), biết ab=cd . CMR \(a^n+b^n+c^n+d^n\)là hợp số

Answer 1

[zZz Cool Kid_new zZz]

Giả sử rằng \(a+b+c+d\) là hợp số

Ta dễ có được: \(a^n+b^n+c^n+d^n-\left(a+b+c+d\right)⋮2\)

Mà \(a^n+b^n+c^n+d^n>2\rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n\) là hợp số

Xét trường hợp \(a+b+c+d\) là số nguyên tố

Đặt \(a+b+c+d=p\Rightarrow a=p-b-c-d\Rightarrow ab=pb-b^2-bc-db\)

\(\Leftrightarrow cd=pb-b^2-bc-db\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(b+d\right)=pb\)

Do p là số nguyên tố nên \(\orbr{\begin{cases}b+c⋮p\\b+d⋮p\end{cases}}\Rightarrow b+c>a+b+c+d\left(v\right)b+d>a+b+c+d\) * vô lý *

Vậy ta có đpcm

Một bài tập ứng dụng của bài toán trên ( được coi là bổ đề )

Tìm các số nguyên dương a;b thỏa mãn \(a^3+3\) là số chính phương và \(a^2+2\left(a+b\right)\) là số nguyên tố

^_^