cho a,b>0 và \(a+b\le1\).tìm GTNN của \(P=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DH
1
T
25 tháng 4 2019
Đầu tiên,ta chứng minh BĐT phụ \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2-4xy}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng).Dấu "=" xảy ra khi x = y.
Và BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\).Áp dụng BĐT AM-GM(Cô si),ta có; \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{\frac{\left(x+y\right)}{2}}=\frac{4}{x+y}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y
\(P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\)\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}\ge4+\frac{1}{\frac{1}{2}}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b và a + b = 1 tức là a=b=1/2
Vậy Min P = 6 khi a = b = 1/2
P
1
T
22 tháng 2 2020
\(A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2}\ge\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}+\frac{4}{ab\left(a+b\right)}\)
\(\ge\left(\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}\right)+\frac{1}{ab}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{ab}\ge\frac{16}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\ge16+4=20\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
21 tháng 7 2020
By Titu's Lemma we easy have:
\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{17}{4}\)
21 tháng 7 2020
Mk xin b2 nha!
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)
VN
1
13 tháng 3 2021
\(P=\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{2ab}\)
\(P=\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{\frac{1}{9}}{2ab}+\frac{4}{9ab}\)
\(\ge\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)^2}{a^2+b^2+1+2ab}+\frac{4}{9ab}\)
\(\ge\frac{\left(1+\frac{3}{4}\right)^2}{\left(a+b\right)^2+1}+\frac{16}{9\left(a+b\right)^2}\)
\(\ge\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)^2}{1+1}+\frac{16}{9}=\frac{8}{3}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
ND
1
24 tháng 5 2015
\(P=a+a+\frac{1}{a^2}+b+b+\frac{1}{b^2}-\left(a+b\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cối 3 số có:\(a+a+\frac{1}{a^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{a.a.1}{a^2}}=3\Rightarrow P\ge3+3-1=5\)
nên min P=5 khi a=b=1/2
MH
1
TD
3
19 tháng 12 2015
Ta có \(1\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le\frac{1}{4}\)
\(A=\left(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{1}{16a^2}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{1}{16b^2}\right)+\frac{15}{16}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\)
\(A\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{2}.\frac{a}{2}.\frac{1}{16a^2}}+3\sqrt[3]{\frac{b}{2}.\frac{b}{2}.\frac{1}{16b^2}}+\frac{15}{16}.\frac{2}{ab}\ge\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{15}{16}.\frac{2}{\frac{1}{4}}=9\)
Min A = 9 khi a =b = 1/2
K
1
PN
1 tháng 9 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{a}{1+b}+\frac{4}{9}.a\left(1+b\right)\ge2\sqrt{\frac{a.4.a.\left(1+b\right)}{\left(1+b\right)9}}=2\sqrt{\frac{4a^2}{3^2}}=\frac{4a}{3}\)
\(\frac{b}{1+a}+\frac{4}{9}.b\left(1+a\right)\ge2\sqrt{\frac{b.4.b.\left(1+a\right)}{\left(1+a\right)9}}=2\sqrt{\frac{2^2b^2}{3^2}}=\frac{4b}{3}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
\(\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}+\frac{4}{9}.a\left(1+b\right)+\frac{4}{9}.b\left(1+a\right)\ge\frac{4a}{3}+\frac{4b}{3}\)
\(< =>\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}\ge\frac{4a}{3}-\frac{4}{9}\left(a+ab\right)-\frac{4}{9}\left(b+ab\right)+\frac{4b}{3}\)
\(< =>\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}\ge\frac{8a}{9}+\frac{8b}{9}-\frac{4}{9}ab-\frac{4}{9}ab\)
\(< =>S\ge\frac{1}{a+b}+\frac{8}{9}\left(a+b\right)-\frac{8}{9}ab=\left(\frac{1}{a+b}+a+b\right)-\frac{a+b+8ab}{9}\)
\(< =>S\ge2-\frac{a+b+8ab}{9}\)
Do \(4ab\le\left(a+b\right)^2\le1< =>a+b+8ab\le3\)
Khi đó ta được : \(S\ge2-\frac{3}{9}=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}\).Đẳng thức xảy ra \(< =>a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của \(S=\frac{5}{3}\)đạt được khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
\(P=a^2+\frac{1}{16a^2}+b^2+\frac{1}{16b^2}+\frac{15}{16}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\)
\(P\ge2\sqrt{\frac{a^2}{16a^2}}+2\sqrt{\frac{b^2}{16b^2}}+\frac{15}{8ab}\ge1+\frac{15}{4\left(a+b\right)^2}\ge1+\frac{15}{4}=\frac{19}{4}\)
\(P_{min}=\frac{19}{4}\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)