Chứng minh rang: a+b+c=0 thì
\(\text{a}^3+\text{a}^2b-\text{a}bc+b^2c+b^3=0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 2 2021
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=2b+2c-a\\y=2c+2a-b\\z=2a+2b-c\end{cases}}\)
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên \(x,y,z>0\)
Khi đó :
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{2y+2z-x}{9}\\b=\frac{2z+2x-y}{9}\\c=\frac{2x+2y-z}{9}\end{cases}}\)
Ta có bất đẳng thức mới theo ẩn x,y,z :
\(\frac{2y+2z-x}{9x}+\frac{2z+2x-y}{9y}+\frac{2x+2y-z}{9z}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{9}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{z}{y}+\frac{x}{y}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)-\frac{1}{3}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{9}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)-\frac{1}{3}\ge1\)
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\forall a,b>0\)
Thật vậy : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)(luôn đúng \(\forall a,b>0\))
Áp dụng , ta được :
\(\frac{2}{9}.2+\frac{2}{9}.2+\frac{2}{9}.2-\frac{1}{3}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{12}{9}-\frac{1}{3}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{9}{9}\ge1\)(đúng)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
8 tháng 4 2021
b, \(\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\ge1\)
\(\frac{a^4}{ab+2ac}+\frac{b^4}{bc+2ab}+\frac{c^4}{ac+2bc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac+2ac+2ab+2bc}\)( Bunhia dạng phân thức )
mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{3+2\left(ab+ac+bc\right)}=\frac{9}{3+6}=1\)( đpcm )
9 tháng 5 2021
1.
Điều kiện x \ge \dfrac14x≥41.
Phương trình tương đương với \left(\sqrt2.\sqrt{2x^2+x+1}-2\right)-\left(\sqrt{4x-1}-1\right)+2x^2+3x-2 = 0(2.2x2+x+1−2)−(4x−1−1)+2x2+3x−2=0 \Leftrightarrow \dfrac{4x^2+2x-2}{\sqrt2.\sqrt{2x^2+x+1}+2} - \dfrac{4x-2}{\sqrt{4x-1}+1} + (x+2)(2x-1) = 0⇔2.2x2+x+1+24x2+2x−2−4x−1+14x−2+(x+2)(2x−1)=0\\ \Leftrightarrow (2x-1)\left(\dfrac{2(x+1)}{\sqrt2 \sqrt{2x^2+x+1}+2} - \dfrac2{\sqrt{4x-1}+1} + x + 2\right) = 0⇔(2x−1)(22x2+x+1+22(x+1)−4x−1+12+x+2)=0
\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x =\dfrac12\\ & \dfrac{2(x+1)}{\sqrt2 \sqrt{2x^2+x+1}+2} - \dfrac2{\sqrt{4x-1}+1} + x + 2 = 0\\ \end{aligned}\right.⇔⎣⎢⎢⎢⎡x=2122x2+x+1+22(x+1)−4x−1+12+x+2=0
Với x \ge \dfrac14x≥41 ta có:
\dfrac{2(x+1)}{\sqrt2 \sqrt{2x^2+x+1}+2} > 022x2+x+1+22(x+1)>0
- \dfrac2{\sqrt{4x-1}+1} \ge -2−4x−1+12≥−2
x + 2 > 2x+2>2.
Suy ra \dfrac{2(x+1)}{\sqrt2 \sqrt{2x^2+x+1}+2} - \dfrac2{\sqrt{4x-1}+1} + x + 2 > 022x2+x+1+22(x+1)−4x−1+12+x+2>0.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = \dfrac12.x=21.
2.
Đặt P = \dfrac{a^3}{b+2c} + \dfrac{b^3}{c+2a} + \dfrac{c^3}{a+2b}P=b+2ca3+c+2ab3+a+2bc3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \dfrac{9a^3}{b + 2c}b+2c9a3 và (b+2c)a(b+2c)a ta có
\dfrac{9a^3}{b+2c} + (b+2c)a \ge 6a^2b+2c9a3+(b+2c)a≥6a2.
Tương tự \dfrac{9b^3}{c+2a} + (c+2a)b \ge 6b^2c+2a9b3+(c+2a)b≥6b2, \dfrac{9c^3}{a+2b} + (a+2b)c \ge 6c^2a+2b9c3+(a+2b)c≥6c2.
Cộng các vế ta có 9P + 3(ab+bc+ca) \ge 6(a^2+b^2+c^2)9P+3(ab+bc+ca)≥6(a2+b2+c2).
Mà a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca = 4a2+b2+c2≥ab+bc+ca=4 nên P \ge 1P≥1 (ta có đpcm).
1 tháng 10 2016
\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+bc+ac\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(ab+bc+ac\right)\right]\)\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ac\right)^2\)
NB
0
PP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 4 2021
Do \(abc=1\), nếu viết BĐT về dạng:
\(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Có lẽ bạn sẽ nhận ra ngay. Một bài toán vô cùng quen thuộc.
Chắc với bài toán này thì bạn ko cần lời giải nữa, nó có ở khắp mọi nơi.
DE
3
28 tháng 2 2021
`a^3+b^3+c^3=3abc(***)`
`a^3+b^3+c^3-3abc=0`
`<=>a^3+3ab(a+b)+c^3-3ab(a+b)-3abc=0`
`<=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0`
`<=>(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc)-3ab(a+b+c)=0`
`<=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab)=0`
Luôn đúng với `a+b+c=0`
`=>(***)` được chứng minh.
28 tháng 2 2021
Ta có: \(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=-c\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=\left(-c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3a^2b-3ab^2\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)(đpcm)
26 tháng 3 2018
a) \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2+b^2\right)}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(*) (luôn đúng)
=> ĐPCM.
c) áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương a và b , ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\text{ va }\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
dấu "=" xảy ra khi <=> a = b.
P/s: bn tự làm nốt câu b) d) đi nha!