cho tam giác abc cân tại A trên AB,AC đặt E,F sao cho AE=AF
a/ Chứng minh BEFC là hình thang cân
b/ gọi I là giao điểm BF,CE và MN lần lượt là trung điểm IB,IC. Chứng minh MNFE là hình thang cân
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Vì AE = FA ( gt)
=> ∆AEF cân tại A
=> AEF = \(\frac{180°\:-\:BAC}{2}\)
Vì ∆ABC cân tại A
=> ABC = \(\frac{180°\:-\:BAC}{2}\)
=> ABC = AEF
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
=> FE//BC
=> FEBC là hình thang
Mà ∆ABC cân tại A
=> ABC = ACB
=> FEBC là hình thang cân (dpcm)
b) Vì ∆ABC cân tại A
=> AB = AC
Mà AE = FA
=> EB = FC
Mà FEBC là hình thang cân
=> EC = FB ( tính chất)
Xét ∆ECB và ∆FBC ta có :
BC chung
EC = FB
ABC = ACB
=> ∆ECB = ∆FBC (c.g.c)
=> BEC = CFB ( tương ứng)
Xét ∆EIB và ∆FIC ta có :
EB = FC (cmt)
BEC = CFB (cmt)
EIB = FIC ( đối đỉnh)
=> ∆EIC = ∆FIC (g.c.g)
=> IB = IC ( tương ứng)
=> ∆IBC cân tại I
=> IBC = ICB
Vì M là trung điểm IB
N là trung điểm IC
=> MN là đường trung bình ∆IBC
=> MN //BC
=> MNCB là hình thang
Mà IBC = ICB (cmt)
=> MNCB là hình thang cân
tk
Giải thích các bước giải:
a, E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AC ⇒ EF là đường trung bình của ΔABC
⇒ EF ║ BC ⇒ Tứ giác BEFC là hình thang
ΔABC cân tại A ⇒ ˆBB^ = ˆCC^
Hình thang BEFC có 2 góc kề 1 cạnh đáy bằng nhau
⇒ BEFC là hình thang cân (đpcm)
b, ΔABC cân tại A có AH là trung tuyến ⇒ AH cũng là đường cao hay AH ⊥ HC
Tứ giác AHCD có 2 đường chéo AC, HD cắt nhau tại F là trung điểm của mỗi đường
⇒ AHCD là hình bình hành mà AH ⊥ HC ⇒ AHCD là hình chữ nhật (đpcm)
c, AHCD là hình chữ nhật ⇒ AD ║ CH và AD = CH mà HB = HC ⇒ AD ║ HB và AD = HB
⇒ Tứ giác ABHD là hình bình hành ⇒ AH, BD giao nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mặt khác ta có I là trung điểm của AH (Vì I ∈ EF là đường trung bình của ΔABC)
nên I cũng là trung điểm của BD hay B, I, D thẳng hàng (đpcm)
a: Xét ΔABC có
E là trung điểm của AB
F là trung điểm của AC
Do đó: EF là đường trung bình
=>EF//BC
a: Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC
F là trung điểm của AC
Do đó: DF là đường trung bình của ΔABC
Suy ra: DF//AB
hay ABDF là hình thang
Bài 1 :
a) Ta có : \(\hept{\begin{cases}AM=MB\\AN=NC\end{cases}\Rightarrow}\)MN là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow MN\text{//}BC\) hay \(MN\text{//}HK\left(1\right)\)
Dễ thấy MNKB là hình bình hành => \(\widehat{MNK}=\widehat{ABC}=\widehat{MHB}\)(Vì tam giác AHB vuông có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.) . Mặt khác : \(\widehat{MNK}=\widehat{CKN}\)(hai góc ở vị trí so le trong)
=> \(\widehat{MHB}=\widehat{CKN}\). Mà hai góc này lần lượt bù với \(\widehat{MHK}\)và \(\widehat{HKN}\)=> \(\widehat{MHK}=\widehat{HKN}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra MNKH là hình thang cân.
b) Dễ thấy HK là đường trung bình tam giác AED => HK // ED hay BC // ED (3)
Tương tự , MH và NK lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ABE và ACD
=> BE = 2MH ; CD = 2NK mà MH = NK (MNKH là hình thang cân - câu a)
=> BE = CD (4)
Từ (3) và (4) suy ra BCDE là hình thang cân.
Bài 2 :
a) Ta có : \(\widehat{BAD}=\widehat{CAE}=90^o\Rightarrow\widehat{BAD}+\widehat{DAE}=\widehat{CAE}+\widehat{DAE}\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\)
Xét tam giác BAE và tam giác CAD có : \(AB=AD\left(gt\right)\); \(AC=AE\left(gt\right)\) ; \(\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta BAE=\Delta CAD\left(c.g.c\right)\Rightarrow CD=BE\)
b) Dễ dàng chứng minh được MP và PN lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ACD và tam giác BEC
=> MP = 1/2CD ; PN = 1/2 BE mà CD = BE => MP = PN => tam giác MNP cân tại P
Để chứng minh góc MPN = 90 độ , hãy chứng minh BE vuông góc với CD.
a) Ta có: AF = AE => AFE là \(\Delta\) cân
=> ^E = ^F
Lại có: ^E + ^F = 1800 - ^A
hay 2^E = 1800 - ^A
^B + ^C = 1800 - ^A
hay 2^B = 1800 - ^A
=> 2^B = 2^E
=> ^B = ^E
Mà: 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị => EF // BC
=> BEFC là hình thang
Có: ^B = ^C => BEFC là hình thang cân
b) Ta có: MN // BC (do MN là đg trung bình của \(\Delta\) IBC)
EF // BC (cmt)
=> MN//EF
=> MNFE là hình thang (1)
Ta dễ dàng chứng mình đc \(\Delta\) EFC = \(\Delta\) FEB (c.g.c)
=> ^FCE = ^EBF
Mà : ^ACB = ^ABC
=> ^ACB - ^FCE = ^ABC - ^EBF
hay ^ECB = ^FBC
=> \(\Delta\) IBC cân tại I => IB = IC => MB = NC
Xét \(\Delta\) FCN và \(\Delta\) EBM có:
FC = EB (BEFC là HT cân)
^FCN = ^EBM (cmt)
CN = BM (cmt)
=> \(\Delta\) FCN = \(\Delta\) EBM (c.g.c)
=> ^CFN = ^BEM
Mà: ^CFE = ^BEF
=> ^CFE - ^CFN = ^BEF - ^BEM
hay ^NFE = ^MEF (2)
Từ 1 và 2 => MNFE là hình thang cân