CMR:
(x+1)2n-x2n-2x-1\(⋮\)x(x+1)(2x+1) \(\forall\) n∈N
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 6 2019
\(a,\left(2x-3\right)n-2n\left(n+2\right)\)
\(=n\left(2x-3-2n-4\right)\)
\(=-7n\)
Vì \(-7⋮7\Rightarrow-7n⋮7\) => ĐPCM
\(b,n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\)
\(=n\left(2n-3-2n-2\right)\)
\(=-5n⋮5\) (ĐPCM)
Rút gọn
\(a,\left(3x-5\right)\left(2x+11\right)-\left(2x+3\right)\left(3x+7\right)\)
\(=6x^2+33x-10x-55-6x^2-14x-9x-21\)
\(=-76\)
\(b,\left(x+2\right)\left(2x^2-3x+4\right)-\left(x^2-1\right)\left(2x+1\right)\)
\(=2x^3-3x^2+4x+4x^2-6x+8-2x^3-x^2+2x+1\)
\(=9\)
\(c,3x^2\left(x^2+2\right)+4x\left(x^2-1\right)-\left(x^2+2x+3\right)\left(3x^2-2x+1\right)\)
\(=3x^4+6x^2+4x^3-4x-3x^4+2x^3-x^2-6x^3+4x^2-2x-9x^2+6x-3\)
= -3
14 tháng 9 2023
a) \(\forall x\in R,x>1\Rightarrow\dfrac{2x}{x+1}< 1\rightarrow Sai\)
vì \(\dfrac{2x}{x+1}< 1\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{x+1}< 0\Leftrightarrow x< 1\left(mâu.thuẫn.x>1\right)\)
b) \(\forall x\in R,x>1\Rightarrow\dfrac{2x}{x+1}>1\rightarrowĐúng\)
Vì \(\dfrac{2x}{x+1}>1\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{x+1}>0\Leftrightarrow x>1\left(đúng.đk\right)\)
c) \(\forall x\in N,x^2⋮6\Rightarrow x⋮6\rightarrowđúng\)
\(\forall x\in N,x^2⋮9\Rightarrow x⋮9\rightarrowđúng\)
20 tháng 8 2016
c) +) giả sử k chẵn--> k2 chẵn --> k2-k+1 lẻ
+) giả sử k lẻ --> k2 lẻ --> k2-k+1 lẻ
==> ko tồn tại k thuộc Z thỏa đề
d) sai
vì ví dụ x=-4<3 nhưng x2=(-4)2=16>9(ko thỏa đề)
HT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 8 2017
Lời giải:
Biến đổi: \(q(x)=9.81^x+15.25^x+2.8^x+8.64^x\)
Lại có:
\(\left\{\begin{matrix} 81\equiv 13\pmod {17}\rightarrow 81^k\equiv 13^k\pmod {17}\\ 25\equiv 8\pmod {17}\rightarrow 25^k\equiv 8^k\pmod {17}\\ 64\equiv 13\pmod {17}\rightarrow 64^k\equiv 13^k\pmod {17}\end{matrix}\right.\)
Do đó, \(q(x)\equiv 9.13^k+15.8^k+2.8^k+8.13^k\pmod {17}\)
\(\Leftrightarrow q(x)\equiv 17.13^k+17.8^k\equiv 0\pmod {17}\)
\(\Leftrightarrow q(x)\vdots 17\) (đpcm)
HT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 8 2017
Lời giải:
Vì \(7^3\equiv 1\pmod 9\) nên xét modulo $3$ cho $x$ :
+ Nếu \(x=3k\) :
\(\Rightarrow t(x)=7^{6k+1}-144k-7=7.7^{6k}-144k-7\equiv 7-144k-7\equiv 0\pmod 9\)
+ Nếu \(x=3k+1\):
\(\Rightarrow t(x)=7^{6k+3}-144k-55=7^3.7^{6k}-144k-55\equiv 7^3-55\equiv 0\pmod 9\)
+ Nếu \(x=3k+2\):
\(\Rightarrow t(x)=7^{6k+5}-144x-103=7^5.7^{6k}-144k-103\equiv 7^5-103\equiv 0\pmod 9\)
Từ 3 TH trên , suy ra \(t(x)\vdots 9\) $(1)$
Mặt khác:
\(t(x)=7(7^{2x}-1)-48x=7(7^x-1)(7^x+1)-48x\)
\( \bullet\) Nếu \(x\) chẵn, đặt $x=2t$ :
\(t(x)=7(7^t-1)(7^t+1)(7^x+1)-96t\)
+ $t$ lẻ:
\(\left\{\begin{matrix} 7^t-1\vdots 2\\ 7^x+1\vdots 2\\ 7^t+1\equiv (-1)^t+1\equiv 0\pmod 8\\ 96t\vdots 32\end{matrix}\right.\Rightarrow 7(7^t-1)(7^t+1)(7^x+1)-96t\vdots 32\)
\(\Rightarrow t(x)\vdots 32\)
+ $t$ chẵn:
\(\left\{\begin{matrix} 7^t-1\equiv (-1)^t-1\equiv 0\pmod 8\\ 7^x+1\vdots 2\\ 7^t+1\vdots 2\\ 96t\vdots 32\end{matrix}\right.\Rightarrow 7(7^t-1)(7^t+1)(7^x+1)-96t\vdots 32\)
\(\Rightarrow t(x)\vdots 32\)
\(\bullet \) Nếu \(x\) lẻ, đặt $x=2t+1$
Khi đó \(t=7(7^x-1)(7^x+1)-96t-48\)
Có \(\left\{\begin{matrix} 7^x+1\equiv (-1)^x+1= (-1)^{2t+1}+1\equiv 0\pmod 8\\ 7^x-1\vdots 2\\ 7^x-1\equiv (-1)^x-1=(-1)^{2t+1}-1\equiv -2\pmod 4\end{matrix}\right.\)
Do đó, \(7(7^x-1)(7^x+1)\) chia hết cho $16$ mà không chia hết cho $32$
Suy ra \(7(7^x-1)(7^x+1)=32k+16\Rightarrow t(x)=32k-96t-32\vdots 32\)
Từ 2TH trên, ta thu được \(t(x)\vdots 32(2)\)
Từ \((1),(2), UCLN(9,32)=1\Rightarrow t(x)\vdots (9.32=288)\) (đpcm)
\(\)
PH
0
10 tháng 11 2021
1.
\(a,=x^4-3x^3+5x^3-15x^2-x^2+3x-5x+15\\ =\left(x-3\right)\left(x^3+5x^2-x-5\right)\\ =\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x^2-1\right)\\ =\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+5\right)\\ b,=2x^4-2x^3+x^3-x^2-8x^2+8x+5x-5\\ =\left(x-1\right)\left(2x^3+x^2-8x+5\right)\\ =\left(x-1\right)\left(2x^3+5x^2-4x^2-10x+2x+5\right)\\ =\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x^2-2x+1\right)\\ =\left(x-1\right)^3\left(2x+5\right)\)
2.
\(a,=n^3\left(n+2\right)-n\left(n+2\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n+2\right)\\ =\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
Đây là tích 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho \(1\cdot2\cdot3\cdot4=24\)
Suy ra đpcm
Bổ sung điều kiện câu b: n chẵn và n>4
\(b,=n\left(n^3-4n^2-4n+16\right)=n\left[n^2\left(n-4\right)-4\left(n-4\right)\right]\\ =\left(n-4\right)\left(n-2\right)n\left(n+2\right)\)
Với n chẵn và \(n>4\) thì đây là tích 4 số nguyên chẵn liên tiếp nên chia hết cho \(2\cdot4\cdot6\cdot8=384\)