cho a,b,c dương khác nhau đôi một thỏa \(\left\{{}\begin{matrix}ab+bc=2c^2\\2a\le c\end{matrix}\right.\)
tìm Max \(\dfrac{a}{a-b}+\dfrac{b}{b-c}+\dfrac{c}{c-a}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 3 2022
\(P=\dfrac{2-\left(1+a^2\right)}{1+a^2}+\dfrac{2-\left(1+b^2\right)}{1+b^2}+\dfrac{2}{\sqrt{1+c^2}}\)
\(P=2\left(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{1}{\sqrt{1+c^2}}\right)-2\)
Từ điều kiện \(ab+bc+ca=1\), đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=tanx\\b=tany\\c=tanz\end{matrix}\right.\) với \(x+y+z=\dfrac{\pi}{2}\)
Xét \(Q=\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{1}{\sqrt{1+c^2}}=\dfrac{1}{1+tan^2x}+\dfrac{1}{1+tan^2y}+\dfrac{1}{\sqrt{1+tan^2z}}\)
\(Q=cos^2x+cos^2y+cosz=1+\dfrac{1}{2}\left(cos2x+cos2y\right)+cosz\)
\(=1+cos\left(x+y\right)cos\left(x-y\right)+cosz\le1+cos\left(x+y\right)+cosz\)
\(=1+cos\left(\dfrac{\pi}{2}-z\right)+cosz=1+sinz+cosz=1+\sqrt{2}sin\left(z+\dfrac{\pi}{4}\right)\le1+\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P\le2\left(1+\sqrt{2}\right)-2=2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=y=\dfrac{\pi}{8}\\z=\dfrac{\pi}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(\sqrt{2}-1;\sqrt{2}-1;1\right)\)
7 tháng 5 2017
bài này làm r` mà ko nhớ ở đâu, cx bận nên ngại làm lại ==
N
10 tháng 3 2017
Xí câu BĐT:
ta cần chứng minh \(\dfrac{a^2}{b^2c}+\dfrac{b^2}{c^2a}+\dfrac{c^2}{a^2b}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
Áp dụng BĐT cauchy:
\(\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\dfrac{a^3}{b}.ab}=2a^2\)
tương tự ta có:\(\dfrac{b^3}{c}+bc\ge2b^2;\dfrac{c^3}{a}+ac\ge2c^2\)
cả 2 vế các BĐT đều dương,cộng vế với vế ta có:
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2a^2+2b^2+2c^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)
mà a2+b2+c2\(\ge ab+bc+ca\) ( chứng minh đầy đủ nhá)
do đó \(S=\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(ab+bc+ca\right)-ab+bc+ca=ab+bc+ca\)
suy ra BĐT ban đầu đúng
dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
P/s: cách khác :Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)
\(S\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)
HY
11 tháng 3 2017
Câu hệ này =))
b, Từ hệ đã cho ta thấy x,y > 0
Trừ vế cho vế pt (1) và (2) của hệ ta được:
\(x^4-y^4=4y-4x\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=4\left(y-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x-y=0\) ( Vì \(\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4>0\) với x,y > 0)
\(\Leftrightarrow x=y\)
Với x = y thay vào pt đầu của hệ ta được:
\(x^4-4x+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-1=0\) ( Vì \(x^2+2x+3>0\) )
\(\Leftrightarrow x=1\)
Với x=1 suy ra y=1
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1)
14 tháng 2 2021
Lâu rồi không lên Hoc24
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, Schwarz và AM - GM ta có:
\(S\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{9}{a+b+c}\right)^2}=\sqrt{\left[\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}\right]+\dfrac{81.15}{16\left(a+b+c\right)^2}}\ge\sqrt{\dfrac{9}{2}+\dfrac{135}{4}}=\sqrt{\dfrac{153}{4}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\).
14 tháng 2 2021
Sau khi chọn đc hệ số điểm rơi là 16 thì cơ sở nào tách tiếp ra 16 số rồi áp dụng cosi nữa vậy ạ??
HN
25 tháng 12 2017
\(P=\dfrac{a}{a^2+bc}+\dfrac{b}{b^2+ca}+\dfrac{c}{c^2+ab}\)
\(\le\dfrac{a}{2a\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{2b\sqrt{ca}}+\dfrac{c}{2c\sqrt{ab}}\)
\(=\dfrac{a\sqrt{bc}}{2abc}+\dfrac{b\sqrt{ca}}{2abc}+\dfrac{c\sqrt{ab}}{2abc}\)
\(\le\dfrac{2a^2+b^2+c^2}{8abc}+\dfrac{2b^2+a^2+c^2}{8abc}+\dfrac{2c^2+b^2+a^2}{8abc}\)
\(=\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}{8abc}=\dfrac{1}{2}\)
HN
24 tháng 12 2021
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+c^2a+ca^2+b^2c+bc^2+2abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+2ab+b^2\right)c+ab\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
=> Hoặc a+b=0 hoặc b+c=0 hoặc c+a=0
=> Hoặc a=-b hoặc b=-c hoặc c=-a
Ko mất tổng quát, g/s a=-b
a) Ta có: vì a=-b thay vào ta được:
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=-\frac{1}{b^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{1}{c^3}\)
\(\frac{1}{a^3+b^3+c^3}=\frac{1}{-b^3+b^3+c^3}=\frac{1}{c^3}\)
=> đpcm
b) Ta có: \(a+b+c=1\Leftrightarrow-b+b+c=1\Rightarrow c=1\)
=> \(P=-\frac{1}{b^{2021}}+\frac{1}{b^{2021}}+\frac{1}{c^{2021}}=\frac{1}{1^{2021}}=1\)
2 tháng 8 2017
\(\left\{{}\begin{matrix}a\left(a+b+c\right)=12\\b\left(a+b+c\right)=18\\c\left(a+b+c\right)=30\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a\left(a+b+c\right)+b\left(a+b+c\right)+c\left(a+b+c\right)=12+18+30\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)=60\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=60\)
\(\Rightarrow a+b+c=\pm\sqrt{60}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{60}:12=\dfrac{\sqrt{15}}{6}\\b=\sqrt{60}:18=\dfrac{\sqrt{15}}{9}\\c=\sqrt{60}:30=\dfrac{\sqrt{15}}{15}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=-\sqrt{60}:12=\dfrac{-\sqrt{15}}{6}\\b=-\sqrt{60}:18=\dfrac{-\sqrt{15}}{9}\\c=-\sqrt{60}:30=\dfrac{-\sqrt{15}}{15}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Các câu sau làm tương tự
2 tháng 8 2017
b. \(ab=\dfrac{3}{5};bc=\dfrac{4}{5};ac=\dfrac{3}{4}\)
\(\Rightarrow ab\cdot bc\cdot ac=\dfrac{9}{25}\Rightarrow\left(abc\right)^2=\dfrac{9}{25}\Rightarrow abc=\pm\dfrac{3}{5}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{5}:bc=\dfrac{3}{5}:\dfrac{4}{5}=\dfrac{3}{4}\\b=\dfrac{3}{5}:ac=\dfrac{3}{5}:\dfrac{3}{4}=\dfrac{4}{5}\\c=\dfrac{3}{5}:ab=\dfrac{3}{5}:\dfrac{3}{5}=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{3}{5}:\dfrac{4}{5}=-\dfrac{3}{4}\\b=-\dfrac{3}{5}:\dfrac{3}{4}=-\dfrac{4}{5}\\c=-\dfrac{3}{5}:\dfrac{3}{5}=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Vậy......................
3 tháng 7 2021
\(P=\dfrac{5a+10b+15c}{4}+\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3a}{4}\right)+\left(\dfrac{9}{2b}+\dfrac{b}{2}\right)+\left(\dfrac{4}{c}+\dfrac{c}{4}\right)\)
\(\ge\dfrac{5\left(a+2b+3c\right)}{4}+2\sqrt{\dfrac{3}{a}.\dfrac{3a}{4}}+2\sqrt{\dfrac{9}{2b}.\dfrac{b}{2}}+2\sqrt{\dfrac{4}{c}.\dfrac{c}{4}}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{5.20}{4}+3+3+2=33\)
Dấu "=" xảy ra khi a=2;b=3;c=4
Vậy \(P_{min}=33\)
Đặt \(\dfrac{b}{c}=x\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}ab+bc=2c^2\\2a\le c\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{c}.x+x=2\\\dfrac{a}{c}\le\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{c}=\dfrac{2-x}{x}\\\dfrac{2-x}{x}\le\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{c}=\dfrac{2-x}{x}\\x\ge\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)
Ta lại có:
\(\dfrac{a}{a-b}+\dfrac{b}{b-c}+\dfrac{c}{c-a}=\dfrac{\dfrac{a}{c}}{\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}}+\dfrac{\dfrac{b}{c}}{\dfrac{b}{c}-1}+\dfrac{1}{1-\dfrac{a}{c}}\)
\(=\dfrac{\dfrac{2-x}{x}}{\dfrac{2-x}{x}-x}+\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{1}{1-\dfrac{2-x}{x}}\)
\(=\dfrac{3x^2+8x-4}{2x^2+2x-4}\)
\(=\dfrac{27}{5}+\dfrac{39x^2+14x-88}{2x^2+2x-4}=\dfrac{27}{5}+\dfrac{\left(3x-4\right)\left(13x+22\right)}{2\left(x-1\right)\left(x+2\right)}\ge\dfrac{27}{5}\)
Vậy GTNN là \(\dfrac{27}{5}\) dấu = xảy ra khi \(x=\dfrac{4}{3}\)
MAX bác !!