cho a,b dương. CM : dấu bằng xảy ra khi nào
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT cosi cho 2 số a,b dương ta có
\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)\(\ge\)2.\(\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\)
\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)\(\ge\)2.\(\sqrt{1}\)=2
vậy \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)\(\ge\)2
dấu = xảy ra khi\(\frac{a}{b}\)=\(\frac{b}{a}\)<=> \(a^2\)=\(b^2\) <=> a=b(vì a,b dương)
Áp dụng cô-si cho ba dương ta có : \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
Suy ra : \(a^2b+ab^2+1-3ab\ge3\sqrt[3]{a^2b.ab^2.1}-3ab=3ab-3ab=0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a^2b=ab^2=1\Rightarrow a=b=1\)
3.1
Xét hiệu :
\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\dfrac{4ab}{4}\)
\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\in R\)
Vậy \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab,\forall a,b\in R\)
Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow a=b\)
3.2
Áp dụng kết quả của câu 3.1 vào câu 3.2 ta được:
\(\left(a+b+c\right)^2=[a+\left(b+c\right)]^2\ge4a\left(b+c\right)\)
Mà : \(a+b+c=1\left(gt\right)\)
nên : \(1\ge4a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\) ( vì a,b,c không âm nên b+c không âm )
Mà : \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\ge0,\forall b,c\in N\)
\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)
Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=c=\dfrac{1}{4};a=\dfrac{1}{2}\)
c) Áp dụng BĐT cô si cho 2 hai số dương \(a;b\) ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow a=b\)
Áp dụng \(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\):
\(2\sqrt{ab}\left(a+b\right)\le\dfrac{\left(2\sqrt{ab}+a+b\right)^2}{4}=\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4}{4}=\dfrac{1}{4}\)
<=> \(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\le\dfrac{1}{8}\)
<=> \(ab\left(a+b\right)^2\le\dfrac{1}{64}\) => 64ab(a+b)2 \(\le1\)
Dấu "=" <=> a = b = \(\dfrac{1}{4}\)
Ta có BĐT : a2 + b2 ≥ 2ab
=> \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\) ≥ 2
=> \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ a
Dấu " = " xảy ra khi : a = b
\(\text{ Ta có : }\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=\dfrac{b^2}{ab}+\dfrac{a^2}{ab}\\ \\ =\dfrac{a^2+b^2}{ab}\)
Áp dụng BDT Cô-si: \(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge\dfrac{2ab}{ab}\ge2\left(đpcm\right)\)
Vậy \(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\ge2\). Đẳng thức xảy ra khi \(a=b\)
a=b khi:
a-b=0
a+(-b)=0
(-a)+b=0
Em mới học lớp 7 thôi