OT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
PA
2 tháng 8 2017
b)
Đề: Cho a, b, c > 0 và abc = ab + bc + ca. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}\le\frac{3}{16}\)
~ ~ ~ ~ ~
\(abc=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\), ta có:
\(\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2\left(a+c\right)}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left[\frac{3}{2\left(a+c\right)}+\frac{3}{2\left(b+c\right)}+\frac{3}{2\left(a+b\right)}\right]\)
\(=\frac{3}{8}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(\le\frac{3}{32}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{3}{16}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
NT
1
28 tháng 9 2021
Áp dụng \(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\):
\(2\sqrt{ab}\left(a+b\right)\le\dfrac{\left(2\sqrt{ab}+a+b\right)^2}{4}=\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4}{4}=\dfrac{1}{4}\)
<=> \(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\le\dfrac{1}{8}\)
<=> \(ab\left(a+b\right)^2\le\dfrac{1}{64}\) => 64ab(a+b)2 \(\le1\)
Dấu "=" <=> a = b = \(\dfrac{1}{4}\)
27 tháng 6 2021
a, Ta có : \(a^2+b^2\ge2ab\) ( cauchuy )
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{a}{ab}+\dfrac{b}{ab}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
b, Ta có : \(a^2+b^2\ge2ab\) ( cauchuy )
\(\Rightarrow ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
LD
14 tháng 7 2017
câu a ) chuyển vế => đpcm
câu b) nhân 2 vế vs 2 rồi chuyển vế => đpcm
câu c) chuyển vế pt đa thức thành nhân tử ( cái này lớp 8 đã pt rồi)=> đpcm
27 tháng 10 2015
Áp dụng BĐT cô -si \(\left(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\right)\) ta có :
\(\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{ab}\left(a+b\right)\le\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(a+b+2\sqrt{ab}\right)^2}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4}{4}=\frac{1}{8}\)
<=> \(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\le\frac{1}{8}\)
<=> \(ab\left(a+b\right)^2\le\frac{1}{64}\)
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = \(\frac{1}{4}\)
27 tháng 10 2015
BPT <=> \(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\le\frac{1}{8}\)
\(\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{ab}\left(a+b\right)\le\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(a+2\sqrt{ab}+b\right)^2}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}\)
30 tháng 5 2023
2:
\(VT=\dfrac{a^2b}{a-b}\cdot\dfrac{2\sqrt{2}\left(a-b\right)}{5\sqrt{3}\cdot a^2\sqrt{b}}=\dfrac{2}{15}\cdot\sqrt{6b}=VP\)
1: \(=9\sqrt{ab}+\dfrac{7\sqrt{ab}}{b}-\dfrac{5\sqrt{ab}}{a}-3\sqrt{ab}=\)6căn ab+căn ab(7/b-5/a)
=căn ab(6+7/b-5/a)
Áp dụng cô-si cho ba dương ta có : \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
Suy ra : \(a^2b+ab^2+1-3ab\ge3\sqrt[3]{a^2b.ab^2.1}-3ab=3ab-3ab=0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a^2b=ab^2=1\Rightarrow a=b=1\)