Cho x>=0, y>=0, z>=0. Chứng minh: (x+y)(y+z)(z+x) >=8xyz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
JH
1
NT
1
2 tháng 10 2019
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:
\(x+y\ge2\sqrt{xy};y+z\ge2\sqrt{yz};x+z\ge2\sqrt{xz}\);
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8\sqrt{\left(xyz\right)^2}=8xyz\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\x=z\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z\left(đpcm\right)\))
NH
0
DK
0
DK
1
23 tháng 10 2020
Áp dụng BĐT AM - GM ta có: \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
Vậy x = y = z.
24 tháng 10 2020
Này TRẦN MINH HOÀNG, dòng đầu bn viết bất đẳng thức tam giác gì đó
DK
0
TV
1
12 tháng 5 2023
x+y>=2 căn xy
y+z>=2 căn yz
x+z>=2 căn xz
=>(x+y)(y+z)(x+z)>=8xyz
SL
2
31 tháng 3 2018
Áp dụng BĐT Cô - si : a + b ≥ 2\(\sqrt{ab}\)
=> x + y ≥ \(2\sqrt{xy}\) ( 1 )
y + z ≥ \(2\sqrt{yz}\) ( 2 )
x + z ≥ 2\(\sqrt{xz}\) ( 3 )
Nhân tưng vế của ( 1 , 2 , 3) , ta được :
( x + y )( y + z)( z + x ) ≥ \(2\sqrt{xy}\) . \(2\sqrt{yz}\) .2 \(\sqrt{xz}\)
<=> ( x + y )( y + z)( z + x ) ≥ 8 xyz
KK
31 tháng 3 2018
ta có (x+y)2 ≥ 4xy
(y+z)2≥ 4yz
(x+z)2≥4xz
nhân từng vế của bđt trên ta được
(x+y)2 (y+z)2 (x+z)2 ≥ 64 x2y2z2
=> [(x+y)(y+z)(x+z)]2≥ (8xyz)2
=>(x+y)(y+z)(x+z)≥ 8xyz(đpcm)
I
1
MS
13 tháng 8 2018
Ta có:
\(\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=\left(x+y+z-x\right)\left(x+y+z-y\right)\left(x+y+z-z\right)=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y\ge2\sqrt{xy}\\y+z\ge2\sqrt{yz}\\z+x\ge2\sqrt{zx}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\) (ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi : x=y=z
Xét hiệu: (x+y)(y+z)(z+x)-8xyz=0
(=) (x+y)>=2√xy
(y+z)>=2√yz
(z+x)>=2√zx
(=) (x+y)(y+z)(z+x)>=8√x^2 y^2 z^2
(=) (x+y)(y+z)(x+z)>=8|x| |y| |z|
(=) ( x+y)(y+z)(z+x)>= 8xyz